Όμορφη Γωμετρία

[harrisp]

Δίνονται δυο ευθείες που τεμνονται στο . Θεωρούμε στην μεταβλητό ευθύγραμμο τμημα καθώς και στην μεταβλητό ευθύγραμμο τμημα ωστε να ισχύει όμως . Έστω το μεσο του και το μέσο του . Να αποδείξετε οτι η είναι παράλληλη σε σταθερή ευθεία.

Για τους μαθητές μέχρι το βραδάκι της Πέμπτης.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Θα αποδείξουμε ότι η είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας , που είναι σταθερή.

Έστω το σημείο τομής της με την . Έστω το σημείο τομής της με την . Έστω τέλος το μέσο της .

Επειδή μέσα των και αντίστοιχα, έχουμε ότι και .

Ταυτόχρονα, επειδή μέσα των και αντίστοιχα, έχουμε ότι και .

Επομένως έχουμε ότι , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και .

Επειδή , έχουμε πως .

Παράλληλα, επειδή , έχουμε ότι .

Σύμφωνα με τα παραπάνω, έχουμε ότι:



Προφανώς , άρα

Άρα και το ζητούμενο έπεται.