Ίσες ακτίνες κύκλων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Ίσες ακτίνες κύκλων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μαρ 13, 2017 11:27 pm

Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ABC και τα ύψη του BF και CE τέμνονται στο H.

Οι προεκτάσεις των FE, \, BC τέμνονται στο U.

Από το μέσο L της BC φέρνω παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας \widehat{EUB} που τέμνει τις CA, \, AB, \, HC, \, HB στα P, \, Q \, X \, Y, αντίστοιχα.

Δείξτε ότι οι κύκλοι (A,P,Q) και (H,X,Y) έχουν ίσες ακτίνες.
kykloi.png
kykloi.png (30.67 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4101
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσες ακτίνες κύκλων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μαρ 14, 2017 8:05 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ABC και τα ύψη του BF και CE τέμνονται στο H.Οι προεκτάσεις των FE, \, BC τέμνονται στο U. Από το μέσο L της BC φέρνω παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας \widehat{EUB} που τέμνει τις CA, \, AB, \, HC, \, HB στα P, \, Q \, X \, Y, αντίστοιχα. Δείξτε ότι οι κύκλοι (A,P,Q) και (H,X,Y) έχουν ίσες ακτίνες.
\bullet Έστω {X}',{Y}' τα σημεία τομής της διχοτόμου της γωνίας \angle EUB με τις HC,HB αντίστοιχα.

Τα τετράπλευρα BCEF,AEHF είναι προφανώς εγγράψιμα \left( \angle BFC=\angle BEC={{90}^{0}} \right).

Τότε: \angle HX'Y'\mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle EX'U} \angle X'EU + \angle X'UE = \mathop  = \limits^{\angle X'EU = \angle Y'BU\left( {E,F,B,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \right),\angle X'UE = \angle Y'UB\,\,(UY'\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma \,\,\tau \eta \varsigma \,\,\angle EUB)}

\angle Y'BU + \angle Y'UB\mathop  = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle Y'BU} \angle HY'X' \Rightarrow \vartriangle HX'Y' ισοσκελές

και με PY \equiv XY\parallel X'Y' \equiv UY' \Rightarrow \vartriangle HXY ισοσκελές άρα \angle HXY = \angle HYX\mathop  \Rightarrow \limits^{\pi \alpha \rho \alpha \pi \lambda \eta \rho \omega \mu \alpha \tau \alpha } \boxed{\angle CXP = \angle QYB}:\left( 1 \right)

Επίσης \boxed{\angle XCP\mathop  = \limits^{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu } \angle ECF\mathop  = \limits^{F,E,X,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle EBF \equiv \angle QBY}:\left( 2 \right).
[attachment=0]Ισοι κύκλοι.png[/attachment]
\bullet Έστω T το σημείο τομής της εκ του C παραλλήλου προς την BY με την PY . Τότε με L το μέσο της BC\mathop  \Rightarrow \limits^{BY\parallel CT} \boxed{CT = BY}:\left( 3 \right).

Με TC\parallel HY\mathop  \Rightarrow \limits^{HY = YX} CX = TC\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \boxed{CX = BY}:\left( 4 \right) και από \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 4 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\Gamma  - \Pi  - \Gamma } \vartriangle BYQ = \vartriangle CXP \Rightarrow YQ = PX\mathop  \Rightarrow \limits^{ + QX} \boxed{YX = QP}:\left( 5 \right).

Από την ομοκυκλικότητα των E,H,F,A \Rightarrow \angle YHX \equiv \angle FHE = {180^0} - \angle FAE \equiv {180^0} - \angle PAQ.

Από τη σχέση \left( 5 \right) προκύπτοι ότι οι ίσες χορδές YX,QP των κύκλων \left( H,X,Y \right)\,\,\And \,\,\left( A,Q,P \right) «φαίνονται»

από τα σημεία τους H,A αντίστοιχα υπό παραπληρωματικές γωνίες και συνεπώς οι κύκλοι είναι ίσες και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Ισοι κύκλοι.png
Ισοι κύκλοι.png (46.87 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ίσες ακτίνες κύκλων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μαρ 14, 2017 8:26 pm

Μα ποιος είσαι, ... ο Deep blue ; :lol: :clap2:

Υ.Γ. Θα επανέλθω με την λύση μου.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης