Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 14, 2017 10:21 pm

΄Ισες  γωνίες.png
΄Ισες γωνίες.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές
Οι πλευρές AB και CD του τετραπλεύρου ABCD είναι ίσες . Η ευθεία

η οποία διέρχεται από τα μέσα M,N των διαγωνίων BD,AC , τέμνει

τις AB,CD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{ASM}=\widehat{DPN}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4101
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Ιαν 14, 2017 10:59 pm

KARKAR έγραψε:Οι πλευρές AB και CD του τετραπλεύρου ABCD είναι ίσες . Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M,N των διαγωνίων BD,AC , τέμνει τις AB,CD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{ASM}=\widehat{DPN}
Ισες γωνίες.png
Ισες γωνίες.png (28.39 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές
Έστω E το συμμετρικό του A ως προς το μέσο M της BD\Rightarrow ABED παραλληλόγραμμο , οπότε DE=AB=DC\Rightarrow \vartriangle DEC ισοσκελές.

Είναι MN\mathop \parallel \limits^{M,N\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,AE,AC} EC\mathop  \Rightarrow \limits^{F \equiv SP \cap DE} SFP\parallel EC\mathop  \Rightarrow \limits^{DE = DC} DF = DP \Rightarrow \boxed{\angle DPS = \angle DFP\mathop  = \limits^{DE\parallel AB} \angle PSA}

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7840
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 14, 2017 11:30 pm

KARKAR έγραψε:΄Ισες γωνίες.pngΟι πλευρές AB και CD του τετραπλεύρου ABCD είναι ίσες . Η ευθεία

η οποία διέρχεται από τα μέσα M,N των διαγωνίων BD,AC , τέμνει

τις AB,CD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{ASM}=\widehat{DPN}

Αν το K είναι μέσο του BC το ζητούμενο προφανές
Γωνίες απο ίσες πλευρές.png
Γωνίες απο ίσες πλευρές.png (22.07 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές
Φιλικά, Νίκος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13298
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 15, 2017 12:17 am

KARKAR έγραψε:΄Ισες γωνίες.pngΟι πλευρές AB και CD του τετραπλεύρου ABCD είναι ίσες . Η ευθεία

η οποία διέρχεται από τα μέσα M,N των διαγωνίων BD,AC , τέμνει

τις AB,CD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{ASM}=\widehat{DPN}
Και ας συμπληρώσω ένα ερώτημα: Δείξτε ότι AS=CP και SB=CP.

Από του Στάθη την απόδειξη βγαίνει εύκολα (είναι PC=EF= AS), πάντως τα απέδειξα με διαφορετικό δρόμο ως ενδιάμεσο βήμα σε μία τρίτη απόδειξη του αρχικού ζητούμενου.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7840
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 15, 2017 1:18 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
KARKAR έγραψε:΄Ισες γωνίες.pngΟι πλευρές AB και CD του τετραπλεύρου ABCD είναι ίσες . Η ευθεία

η οποία διέρχεται από τα μέσα M,N των διαγωνίων BD,AC , τέμνει

τις AB,CD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{ASM}=\widehat{DPN}
Και ας συμπληρώσω ένα ερώτημα: Δείξτε ότι AS=CP και SB=CP.

Από του Στάθη την απόδειξη βγαίνει εύκολα (είναι PC=EF= AS), πάντως τα απέδειξα με διαφορετικό δρόμο ως ενδιάμεσο βήμα σε μία τρίτη απόδειξη του αρχικού ζητούμενου.
Καλημέρα.

Ας τη δούμε πλήρως με όλα τα ερωτήματα:

α) Με K μέσο του BC θα είναι \left\{ \begin{gathered} 
  KM// = \dfrac{{DC}}{2} \hfill \\ 
  KN// = \dfrac{{AB}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow KM = KN \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_4}}}

Αλλά από τις προηγούμενες παραλληλίες είναι \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}\,\,} και επομένως

\boxed{\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}\,\,}.

β) στην ειδική περίπτωση που AD//BC έχουμε ισοσκελές τραπέζιο και το

ζητούμενο προφανές. Αν τώρα οι ευθείες AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MN τέμνονται στο H στα

τρίγωνα \vartriangle CAD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BAD με κοινή τέμνουσα την ευθεία \overline {SMNP} από το Θ.

Μενελάου έχουμε:
Γωνίες απο ίσες πλευρές_1.png
Γωνίες απο ίσες πλευρές_1.png (27.46 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{CN}}{{NA}} \cdot \frac{{AH}}{{HD}} \cdot \frac{{DP}}{{PC}} = 1 \hfill \\ 
  \frac{{BS}}{{SA}} \cdot \frac{{AH}}{{HD}} \cdot \frac{{DM}}{{MB}} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{PC}}{{PD}} \hfill \\ 
  \frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{SA}}{{SB}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα

\dfrac{{PC}}{{PD}} = \dfrac{{SA}}{{SB}} \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{PD + PC}} = \dfrac{{SA}}{{SA + SB}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{PC + PD}}{{PD}} = \dfrac{{SA + SB}}{{SB}} δηλαδή

\dfrac{{PC}}{{DC}} = \dfrac{{SA}}{{AB}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{DC}}{{PD}} = \dfrac{{AB}}{{SB}} οπότε: PC = SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PD = SB.

Φιλικά, Νίκος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13298
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 15, 2017 9:22 am

Doloros έγραψε: τρίγωνα \vartriangle CAD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BAD με κοινή τέμνουσα την ευθεία \overline {SMNP} από το Θ. Μενελάου έχουμε:
Νίκο, ακριβώς αυτό είχα κατά νου. Ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Κυρ Ιαν 15, 2017 1:03 pm

Ενα δεύτερο ερώτημα στο πολύ ωραίο θέμα του Θανάση...

β. Το ευθύγραμμα τμήμα που ενώνει τα μέσα των άνισων πλευρών είναι κάθετο στο MN (και λόγω του α. ερωτήματος, είναι παράλληλο στη διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι ίσες πλευρές)


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 15, 2017 1:17 pm

sakis1963 έγραψε:Ενα δεύτερο ερώτημα στο πολύ ωραίο θέμα του Θανάση...

β. Το ευθύγραμμα τμήμα που ενώνει τα μέσα των άνισων πλευρών είναι κάθετο στο MN (και λόγω του α. ερωτήματος, είναι παράλληλο στη διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι ίσες πλευρές)
Γεια σου Σάκη, γεια σε όλους!
Plus Sakis.png
Plus Sakis.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές
Το KMLN είναι ρόμβος απ' όπου προκύπτει η καθετότητα.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Ίσες γωνίες από ίσες πλευρές

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Κυρ Ιαν 15, 2017 1:28 pm

Αφού απαντήθηκε και το β. ερώτημα από τον Γιώργο,

ας συνδέσουμε το όλο θέμα και με αυτό


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης