Ίσες εξ ίσων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίσες εξ ίσων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 17, 2016 8:21 am

Ίσες  εξ  ίσων.png
Ίσες εξ ίσων.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , το AD είναι ύψος και τα M,N μέσα των πλευρών BC,AC αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο SMN , ίσο προς το DMN , (ND=NS) . Δείξτε ότι : \widehat{SAC}=\widehat{BAD}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσες εξ ίσων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Δεκ 17, 2016 9:15 am

KARKAR έγραψε:Ίσες εξ ίσων.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , το AD είναι ύψος και τα M,N μέσα των πλευρών BC,AC αντίστοιχα .Σχεδιάζω τρίγωνο SMN , ίσο προς το DMN , (ND=NS) . Δείξτε ότι : \widehat{SAC}=\widehat{BAD}
CN = NA = DN = NS \Rightarrow \boxed{\angle ASC = {{90}^0}}:\left( 1 \right) και \vartriangle NSM = \vartriangle NDM \Rightarrow \angle NSM =

\angle NDM = \angle NCM \Rightarrow MNCS εγγράψιμο σε κύκλο, οπότε: \angle NMC = \angle NSC\mathop  = \limits^{NS = NC} \angle NCS \equiv \angle ACS

\mathop  \Rightarrow \limits^{MN\parallel AB \Rightarrow \angle NMC = \angle B} \angle B = \angle ACS\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle ADB = \angle ASC = {{90}^0}} \vartriangle ADB \sim \vartriangle ASC \Rightarrow \boxed{\angle BAD = \angle CAS} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3332
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ίσες εξ ίσων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Δεκ 17, 2016 9:47 am

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , το AD είναι ύψος και τα M,N μέσα των πλευρών BC,AC αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο SMN , ίσο προς το DMN , (ND=NS) . Δείξτε ότι : \widehat{SAC}=\widehat{BAD}
Καλημέρα!
Ίσες-εξ-ίσων.png
Ίσες-εξ-ίσων.png (31.42 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές
Από τις ίσες «μπλε» γωνίες το NCSM καθίσταται εγγράψιμο.

Από το ισοσκελές \triangleleft NAS, την ορθή γωνία ASC και την παραλληλία των NM,AB η απόδειξη ολοκληρώνεται.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3332
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ίσες εξ ίσων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Δεκ 17, 2016 10:20 am

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , το AD είναι ύψος και τα M,N μέσα των πλευρών BC,AC αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο SMN , ίσο προς το DMN , (ND=NS) . Δείξτε ότι : \widehat{SAC}=\widehat{BAD}
Ακόμα μία…μια που η προηγούμενη ήταν σχεδόν ίδια με του φίλου Στάθη!
Ίσες-εξ-ίσων_2.png
Ίσες-εξ-ίσων_2.png (31.74 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές
Αν K \equiv SD \cap AB, τότε SK \bot AB από NM \bot SD και NM\parallel AB

Λόγω και του εγγράψιμου ACSD, θα είναι \omega  = \varphi σαν οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσες εξ ίσων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 17, 2016 10:28 am

KARKAR έγραψε:Ίσες εξ ίσων.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , το AD είναι ύψος και τα M,N μέσα των πλευρών BC,AC αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο SMN , ίσο προς το DMN , (ND=NS) . Δείξτε ότι : \widehat{SAC}=\widehat{BAD}
Καλημέρα στους κ.κ. Θανάση , Στάθη και Μιχάλη , Καλημέρα σε όλους .

Μάλλον ανακάτεψα πολλά. Ας είναι .

Επειδή ND = NS = NA = NC το τετράπλευρο ADSC είναι εγγράψιμο σε ημικύκλιο

διαμέτρου AC.

Τώρα όμως τα τρίγωνα \vartriangle MDS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle NAS είναι ισοσκελή και όμοια .

Έστω E το μέσο του AB. Το τετράπλευρο DMNE είναι ισοσκελές τραπέζιο

( γνωστή ασκησούλα του σχολικού αλλά και σε όλα τα βιβλία γεωμετρίας)
ϊσες εξ ίσων.png
ϊσες εξ ίσων.png (41.79 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές
Επειδή \widehat {AED} = 2\widehat B\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat \omega \, + \widehat \theta  = \widehat B

ως απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου BMNE θα είναι και τα ισοσκελή

\vartriangle AED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ANS όμοια , οπότε \vartriangle AED \simeq \vartriangle SMD \Rightarrow \boxed{\widehat {BAD} = \widehat {SDM} = \widehat {SAC}}

Να σημειωθεί ότι η AS διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του \vartriangle ABC

Φιλικά

Νίκος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσες εξ ίσων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 17, 2016 10:39 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , το AD είναι ύψος και τα M,N μέσα των πλευρών BC,AC αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο SMN , ίσο προς το DMN , (ND=NS) . Δείξτε ότι : \widehat{SAC}=\widehat{BAD}
Ακόμα μία…μια που η προηγούμενη ήταν σχεδόν ίδια με του φίλου Στάθη!Ίσες-εξ-ίσων_2.png
Αν K \equiv SD \cap AB, τότε SK \bot AB από NM \bot SD και NM\parallel AB

Λόγω και του εγγράψιμου ACSD, θα είναι \omega  = \varphi σαν οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες.

:clap2: :clap2:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσες εξ ίσων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Δεκ 17, 2016 10:45 am

KARKAR έγραψε:Ίσες εξ ίσων.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , το AD είναι ύψος και τα M,N μέσα των πλευρών BC,AC αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο SMN , ίσο προς το DMN , (ND=NS) . Δείξτε ότι : \widehat{SAC}=\widehat{BAD}
Καλημέρα....

Με \displaystyle{E} μέσον της \displaystyle{AB} \displaystyle{ \Rightarrow ENMD} ισοσκελές τραπέζιο και \displaystyle{ANME} παραλ/μμο.Άρα \displaystyle{EM = ND = NS = NA} και \displaystyle{\angle AEM = \angle ANM}

Ακόμη,από την ισότητα (Π-Π-Π) των \displaystyle{\vartriangle EDM,NMS} οι μπλε γωνίες είναι ίσες

Έτσι τα ισοσκελή τρίγωνα \displaystyle{AED,ANS} έχουν \displaystyle{\angle DEA = \angle ANS \Rightarrow \boxed{\angle x = \angle y}}
iei.png
iei.png (23.4 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές
Νίκο τώρα είδα τη λύση σου σχεδόν ίδια με τη δική μου.Την αφήνω..


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3332
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ίσες εξ ίσων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Δεκ 17, 2016 11:50 am

KARKAR έγραψε:Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , το AD είναι ύψος και τα M,N μέσα των πλευρών BC,AC αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τρίγωνο SMN , ίσο προς το DMN , (ND=NS) . Δείξτε ότι : \widehat{SAC}=\widehat{BAD}
Με δεδομένα τα εγγράψιμα NCSM,\,ACSD
Ίσες-εξ-ίσων_3.png
Ίσες-εξ-ίσων_3.png (36.07 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές
B\widehat AD + \varphi  + \omega  = \varphi  + 2\omega  \Leftrightarrow B\widehat AD = \omega


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσες εξ ίσων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 17, 2016 12:01 pm

Σύντομα γιατί πρέπει να φύγω για Άγιο Νικόλαο.

Γράφουμε τον κύκλο (A,B,C) που η AS τον τέμνει στο Z.

Επειδή NA = ND = NS = NC το τετράπλευρο ADSC είναι εγγράψιμο .

Αφού τώρα \widehat \omega  = \widehat \phi \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega  = \widehat \theta  \Rightarrow \widehat \theta  = \widehat \phi  \Rightarrow BZ//DS \Rightarrow NM \bot BZ .
Εξ ίσων ίσα_3.png
Εξ ίσων ίσα_3.png (35.07 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές
Αν T το σημείο τομής των NM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BZ στο τετράπλευρο NTZC θα είναι

\widehat {TBC} + \widehat {TZC} = \widehat {BAC} + \widehat {TZC} = 180^\circ και άρα \widehat {ACZ} = 90^\circ.

Δηλαδή η AZ διάμετρος του κύκλου (A,B,C) και το ζητούμενο φανερό .

Φιλικά

Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης