Από Βοσνία

#1

: Από Βοσνία.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 1002 φορές

Έστω

το μέσο του μεγάλου τόξου

του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC (AB<AC)

και

η προβολή του

πάνω στην

. Να δείξετε ότι $\displaystyle{CE = \frac{{AB + AC}}{2}}$

#2

Γιώργο, ζητήθηκε όντως σε διαγωνισμό μικρών της Βοσνίας το θεώρημα της σπασμένης χορδής;

Πότε;

#3

matha έγραψε:Γιώργο, ζητήθηκε όντως σε διαγωνισμό μικρών της Βοσνίας το θεώρημα της σπασμένης χορδής; Πότε;

Θάνο, μπήκε σε επιλογής μεγάλων το 2012
http://artofproblemsolving.com/communit ... 57p2689920

Αρκετά γνωστό και απλό (ακόμα και για μικρούς).

KARKAR · #4

Την ίδια χρονιά την έδωσε και ο Φραγκάκης στο Mathematica , βλέπε εδώ .

Υπάρχει και σε πολλές ακόμη αναρτήσεις στο forum ...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε:Από Βοσνία.png
Έστω το μέσο του μεγάλου τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου

και η προβολή του πάνω στην . Να δείξετε ότι $\displaystyle{CE = \frac{{AB + AC}}{2}}$

Καλησπέρα....

$\displaystyle{P}$ είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{C}$ ως προς $\displaystyle{E}$ .Άρα $\displaystyle{EN//PB}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \angle BPA = x = \angle \frac{A}{2}}$

Λόγω του εγγράψιμου $\displaystyle{EDCN \Rightarrow \angle NEC = x = \angle \frac{A}{2} \Rightarrow EN//AS}$ ,άρα $\displaystyle{AS//PB \Rightarrow \angle ABP = x = \angle \frac{A}{2}}$

Έτσι $\displaystyle{\vartriangle PAB}$ ισοσκελές οπότε $\displaystyle{PA = AB}$ και $\displaystyle{PC = PA + AC \Rightarrow \boxed{2EC = AB + AC}}$

: BOSNIA.png (21 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

#6

matha έγραψε:Γιώργο, ζητήθηκε όντως σε διαγωνισμό μικρών της Βοσνίας το θεώρημα της σπασμένης χορδής; Πότε;

Αν και απάντησε ήδη ο Θανάσης (socrates), η άσκηση είχε δοθεί στην επιλογή των μεγάλων, αλλά την θεώρησα γνωστή και απλή και γι' αυτό την έβαλα σε φάκελο juniors, μήπως και ήθελε κάποιος που δεν την ήξερε ν' ασχοληθεί. Η λύση μου δεν υπάρχει στις παραπομπές (εκτός αν μου ξέφυγε κάτι), αλλά μοιάζει με του Μιχάλη Τσουρακάκη. Την παραθέτω αφού δεν νομίζω πλέον ν' ασχοληθεί κάποιος άλλος.

: Από Βοσνία.b.png (21.65 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

Έστω

το μέσο της πλευράς

και έστω ακόμα ότι η κάθετη από το

στη διχοτόμο της γωνίας $B\widehat A C$ την τέμνει στο

και την

στο

. Ως γνωστόν $\displaystyle{HM|| = \frac{{ZC}}{2} = \frac{{AC - AB}}{2}}$ . Αλλά από το εγγράψιμο DEMC

και λόγω της διχοτόμου, όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, οπότε το AEMH

είναι παραλληλόγραμμο και AE=HM

.

$\displaystyle{AE = \frac{{AC - AB}}{2} \Leftrightarrow AC - CE = \frac{{AC - AB}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{CE = \frac{{AB + AC}}{2}}$

Όσοι πάντως βιάζονται να δίνουν παραπομπές, ας έχουν υπόψη τους το παρακάτω μήνυμα των Γενικών Συντονιστών:

Συμβαίνει συχνά ασκήσεις αυτούσιες ή παρόμοιες με προηγούμενες να κάνουν την επανεμφάνισή τους. Αυτό δεν είναι κακό αφού όλο και κάποιος θα την βλέπει για πρώτη φορά. Ας μην στερούμε την διδακτική αξία τους δίνοντας αμέσως την παραπομπή στην λυμένη άσκηση. Βάζουμε και εδώ ένα διάστημα 48 ωρών στο οποίο αν δεν έχει εν τω μεταξύ λυθεί η άσκηση καλό είναι να μην δίνουμε την παραπομπή.

Από Βοσνία

Από Βοσνία

Re: Από Βοσνία

Re: Από Βοσνία

Re: Από Βοσνία

Re: Από Βοσνία

Re: Από Βοσνία

Μέλη σε σύνδεση