Από Βοσνία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10020
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Από Βοσνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 14, 2016 9:48 pm

Από Βοσνία.png
Από Βοσνία.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές
Έστω D το μέσο του μεγάλου τόξου BC του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC (AB<AC)

και E η προβολή του D πάνω στην AC. Να δείξετε ότι \displaystyle{CE = \frac{{AB + AC}}{2}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6289
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Από Βοσνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Νοέμ 14, 2016 10:02 pm

Γιώργο, ζητήθηκε όντως σε διαγωνισμό μικρών της Βοσνίας το θεώρημα της σπασμένης χορδής; :? Πότε;


Μάγκος Θάνος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Από Βοσνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Νοέμ 14, 2016 10:38 pm

matha έγραψε:Γιώργο, ζητήθηκε όντως σε διαγωνισμό μικρών της Βοσνίας το θεώρημα της σπασμένης χορδής; :? Πότε;
Θάνο, μπήκε σε επιλογής μεγάλων το 2012
http://artofproblemsolving.com/communit ... 57p2689920

Αρκετά γνωστό και απλό (ακόμα και για μικρούς).


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12152
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Από Βοσνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 14, 2016 11:06 pm

Την ίδια χρονιά την έδωσε και ο Φραγκάκης στο Mathematica , βλέπε εδώ .

Υπάρχει και σε πολλές ακόμη αναρτήσεις στο forum ...


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1947
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Από Βοσνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 14, 2016 11:23 pm

george visvikis έγραψε:Από Βοσνία.png
Έστω D το μέσο του μεγάλου τόξου BC του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC (AB<AC)

και E η προβολή του D πάνω στην AC. Να δείξετε ότι \displaystyle{CE = \frac{{AB + AC}}{2}}

Καλησπέρα....

\displaystyle{P} είναι το συμμετρικό του \displaystyle{C} ως προς \displaystyle{E} .Άρα \displaystyle{EN//PB}\displaystyle{ \Rightarrow \angle BPA = x = \angle \frac{A}{2}}

Λόγω του εγγράψιμου \displaystyle{EDCN \Rightarrow \angle NEC = x = \angle \frac{A}{2} \Rightarrow EN//AS},άρα \displaystyle{AS//PB \Rightarrow \angle ABP = x = \angle \frac{A}{2}}

Έτσι \displaystyle{\vartriangle PAB} ισοσκελές οπότε \displaystyle{PA = AB} και \displaystyle{PC = PA + AC \Rightarrow \boxed{2EC = AB + AC}}
BOSNIA.png
BOSNIA.png (21 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10020
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από Βοσνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 15, 2016 9:14 am

matha έγραψε:Γιώργο, ζητήθηκε όντως σε διαγωνισμό μικρών της Βοσνίας το θεώρημα της σπασμένης χορδής; :? Πότε;
Αν και απάντησε ήδη ο Θανάσης (socrates), η άσκηση είχε δοθεί στην επιλογή των μεγάλων, αλλά την θεώρησα γνωστή και απλή και γι' αυτό την έβαλα σε φάκελο juniors, μήπως και ήθελε κάποιος που δεν την ήξερε ν' ασχοληθεί. Η λύση μου δεν υπάρχει στις παραπομπές (εκτός αν μου ξέφυγε κάτι), αλλά μοιάζει με του Μιχάλη Τσουρακάκη. Την παραθέτω αφού δεν νομίζω πλέον ν' ασχοληθεί κάποιος άλλος.
Από Βοσνία.b.png
Από Βοσνία.b.png (21.65 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές
Έστω M το μέσο της πλευράς BC και έστω ακόμα ότι η κάθετη από το B στη διχοτόμο της γωνίας B\widehat A C την τέμνει στο H και την AC στο Z. Ως γνωστόν \displaystyle{HM|| = \frac{{ZC}}{2} = \frac{{AC - AB}}{2}}. Αλλά από το εγγράψιμο DEMC και λόγω της διχοτόμου, όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, οπότε το AEMH είναι παραλληλόγραμμο και AE=HM.

\displaystyle{AE = \frac{{AC - AB}}{2} \Leftrightarrow AC - CE = \frac{{AC - AB}}{2} \Leftrightarrow } \boxed{CE = \frac{{AB + AC}}{2}}


Όσοι πάντως βιάζονται να δίνουν παραπομπές, ας έχουν υπόψη τους το παρακάτω μήνυμα των Γενικών Συντονιστών:
:logo: Συμβαίνει συχνά ασκήσεις αυτούσιες ή παρόμοιες με προηγούμενες να κάνουν την επανεμφάνισή τους. Αυτό δεν είναι κακό αφού όλο και κάποιος θα την βλέπει για πρώτη φορά. Ας μην στερούμε την διδακτική αξία τους δίνοντας αμέσως την παραπομπή στην λυμένη άσκηση. Βάζουμε και εδώ ένα διάστημα 48 ωρών στο οποίο αν δεν έχει εν τω μεταξύ λυθεί η άσκηση καλό είναι να μην δίνουμε την παραπομπή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης