Συντρέχουσες.
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 1418
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Συντρέχουσες.
Καλησπέρα.
Δείξτε ότι οι κάθετες από τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου εγγράψιμο
σε κύκλο, προς τις απέναντι πλευρές του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Δείξτε ότι οι κάθετες από τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου εγγράψιμο
σε κύκλο, προς τις απέναντι πλευρές του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συντρέχουσες.
Καλησπέρα Φάνη!Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Καλησπέρα.
Δείξτε ότι οι κάθετες από τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου εγγράψιμο
σε κύκλο, προς τις απέναντι πλευρές του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Πρόκειται για γνωστό επώνυμο θεώρημα. Δεν αποκαλύπτω ποιο. Αφήνω να το προσπαθήσουν όσοι δεν το ξέρουν.
Re: Συντρέχουσες.
Καλησπέρα!
Εστω οτι τα δύο υψοι απο τα μεσα των δυο απέναντι πλευρών τέμνονται στο .
Το τετραπλευρο μας είναι εγγραψιμο.Ας θεωρήσουμε το κέντρο του. Το μεσο του ταυτίζεται με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ενωνει τα μεσα των δύο απέναντι πλευρών (εύκολο).
Αυτο ομως με την σειρά του ταυτίζεται με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ενωνει τα μέσα των δυο άλλων απέναντι πλευρων.
Εύκολα τωρα έχουμε το ζητούμενο.
ΥΓ. Θα ανεβάσω σχημα αργοτερα.
Εστω οτι τα δύο υψοι απο τα μεσα των δυο απέναντι πλευρών τέμνονται στο .
Το τετραπλευρο μας είναι εγγραψιμο.Ας θεωρήσουμε το κέντρο του. Το μεσο του ταυτίζεται με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ενωνει τα μεσα των δύο απέναντι πλευρών (εύκολο).
Αυτο ομως με την σειρά του ταυτίζεται με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ενωνει τα μέσα των δυο άλλων απέναντι πλευρων.
Εύκολα τωρα έχουμε το ζητούμενο.
ΥΓ. Θα ανεβάσω σχημα αργοτερα.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συντρέχουσες.
Είναι το θεώρημα του Mathot. Κάπως πιο αναλυτικά.Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Καλησπέρα.
Δείξτε ότι οι κάθετες από τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου εγγράψιμο
σε κύκλο, προς τις απέναντι πλευρές του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Έστω τα μέσα των αντίστοιχα, το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, το σημείο τομής των
και το συμμετρικό του ως προς . Θα δείξω ότι το είναι το ζητούμενο σημείο. Δηλαδή ότι οι
είναι κάθετες στις πλευρές του τριγώνου. Αρκεί να δείξω ότι
Πράγματι, το είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιοί του διχοτομούνται), άρα κι επειδή , θα είναι και
-
- Δημοσιεύσεις: 1418
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Re: Συντρέχουσες.
Γιώργο σ’ ευχαριστώ για την εγκυκλοπαιδική ενημέρωση.
Καλώ και τα μέσα των πλευρών του και το
κέντρο του κύκλου. Φέρνω από το κάθετη προς την που
την τέμνει στο και από το κάθετη προς την που την τέμνει στο . Ονομάζω .
Αρκεί να δείξω ότι και . Έστω και . Προφανώς είναι
και . Το εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι
παραλληλόγραμμο και διχοτομούνται από το . Το είναι και αυτό
παραλληλόγραμμο και διχοτομούνται από το . Συνεπώς το διχοτομεί τα
ευθύγραμμα τμήματα και παραλληλόγραμμο και .
Επομένως και .
Καλώ και τα μέσα των πλευρών του και το
κέντρο του κύκλου. Φέρνω από το κάθετη προς την που
την τέμνει στο και από το κάθετη προς την που την τέμνει στο . Ονομάζω .
Αρκεί να δείξω ότι και . Έστω και . Προφανώς είναι
και . Το εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι
παραλληλόγραμμο και διχοτομούνται από το . Το είναι και αυτό
παραλληλόγραμμο και διχοτομούνται από το . Συνεπώς το διχοτομεί τα
ευθύγραμμα τμήματα και παραλληλόγραμμο και .
Επομένως και .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης