Συντρέχουσες.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Συντρέχουσες.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Οκτ 22, 2016 6:24 pm

Καλησπέρα.

Δείξτε ότι οι κάθετες από τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου εγγράψιμο
σε κύκλο, προς τις απέναντι πλευρές του διέρχονται από το ίδιο σημείο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συντρέχουσες.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 22, 2016 6:55 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Καλησπέρα.

Δείξτε ότι οι κάθετες από τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου εγγράψιμο
σε κύκλο, προς τις απέναντι πλευρές του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Καλησπέρα Φάνη!

Πρόκειται για γνωστό επώνυμο θεώρημα. Δεν αποκαλύπτω ποιο. Αφήνω να το προσπαθήσουν όσοι δεν το ξέρουν.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Συντρέχουσες.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Οκτ 22, 2016 8:28 pm

Καλησπέρα!

Εστω οτι τα δύο υψοι απο τα μεσα των δυο απέναντι πλευρών τέμνονται στο E.

Το τετραπλευρο μας είναι εγγραψιμο.Ας θεωρήσουμε O το κέντρο του. Το μεσο του OE ταυτίζεται με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ενωνει τα μεσα των δύο απέναντι πλευρών (εύκολο).

Αυτο ομως με την σειρά του ταυτίζεται με το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ενωνει τα μέσα των δυο άλλων απέναντι πλευρων.

Εύκολα τωρα έχουμε το ζητούμενο.


ΥΓ. Θα ανεβάσω σχημα αργοτερα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συντρέχουσες.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 23, 2016 2:03 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Καλησπέρα.

Δείξτε ότι οι κάθετες από τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου εγγράψιμο
σε κύκλο, προς τις απέναντι πλευρές του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Είναι το θεώρημα του Mathot. Κάπως πιο αναλυτικά.
Συντρέχουσες.png
Συντρέχουσες.png (19.33 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές
Έστω K, L, M, N τα μέσα των AB, BC, CD, DA αντίστοιχα, O το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, S το σημείο τομής των

KM, LN και P το συμμετρικό του O ως προς S. Θα δείξω ότι το P είναι το ζητούμενο σημείο. Δηλαδή ότι οι KP, LP, MP, NP

είναι κάθετες στις πλευρές του τριγώνου. Αρκεί να δείξω ότι \displaystyle{KP \bot CD}.

Πράγματι, το KPMO είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιοί του διχοτομούνται), άρα KP||OM κι επειδή \displaystyle{OM \bot CD}, θα είναι και \displaystyle{KP \bot CD}


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συντρέχουσες.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Οκτ 23, 2016 4:55 pm

Συντρέχουσες (2).png
Συντρέχουσες (2).png (19.95 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές
Γιώργο σ’ ευχαριστώ για την εγκυκλοπαιδική ενημέρωση.

Καλώ E, Z, H και U τα μέσα των πλευρών του ABCD και O το
κέντρο του κύκλου. Φέρνω από το E κάθετη προς την DC που
την τέμνει στο I και από το H κάθετη προς την AB που την τέμνει στο K. Ονομάζω L≡EI∩HK.
Αρκεί να δείξω ότι UL⊥BC και ZL⊥AD. Έστω M≡UL∩BC και N≡ZL∩AD. Προφανώς είναι
OE⊥AB, OZ⊥BC, OH⊥DC και OU⊥AD. Το UEZH εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι
παραλληλόγραμμο⟹EH και UZ διχοτομούνται από το P. Το LEOH είναι και αυτό
παραλληλόγραμμο⟹EH και LO διχοτομούνται από το P. Συνεπώς το P διχοτομεί τα
ευθύγραμμα τμήματα UZ και LO⟹ULZO παραλληλόγραμμο⟹UL∥OZ και ZL∥OU.
Επομένως UL⊥BC και ZL⊥AD.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης