J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Σας προτείνω το θέμα J-526 από το τέταρτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2020. Το θέμα πρότεινε ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam. H ημερομηνία υποβολής των λύσεων ήταν η 15 Σεπτεμβρίου 2020 , η οποία παρήλθε. Έτσι μπορώ να μοιραστώ το θέμα μαζί σας χωρίς ενδοιασμούς...
Έστω τρίγωνο με περίκεντρο , έγκεντρο και παράκεντρα
Aποδείξτε ότι
Το θέμα αυτό είναι μάλλον εύκολο για κάποιους έμπειρους λύτες του mathematica.
To δημοσιεύω για έναν λόγο : Να δουν κάποιοι μαθητές μερικές γνώσεις που δεν υπάρχουν στα σχολικά βιβλία των τελευταίων δεκαετιών , ούτε και στα αντίστοιχα σχολικά βοηθήματα. Αυτές οι γνώσεις υπάρχουν σε βιβλία ηλικίας άνω των 35 ετών. Νομίζω ότι αξίζει η προσπάθεια...
Έστω τρίγωνο με περίκεντρο , έγκεντρο και παράκεντρα
Aποδείξτε ότι
Το θέμα αυτό είναι μάλλον εύκολο για κάποιους έμπειρους λύτες του mathematica.
To δημοσιεύω για έναν λόγο : Να δουν κάποιοι μαθητές μερικές γνώσεις που δεν υπάρχουν στα σχολικά βιβλία των τελευταίων δεκαετιών , ούτε και στα αντίστοιχα σχολικά βοηθήματα. Αυτές οι γνώσεις υπάρχουν σε βιβλία ηλικίας άνω των 35 ετών. Νομίζω ότι αξίζει η προσπάθεια...
Λέξεις Κλειδιά:
Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Χρειαζόμαστε τους τύπους του Euler:
, , , και τον τύπο .
Προσθέτοντας παίρνουμε το ζητούμενο.
Τους τύπους του Euler τους έχουμε δει σε διάφορα μέρη εδώ στο . Για την , δεν ξέρω αν την έχουμε δει.
Οπότε την αφήνω προς απόδειξη εδώ.
, , , και τον τύπο .
Προσθέτοντας παίρνουμε το ζητούμενο.
Τους τύπους του Euler τους έχουμε δει σε διάφορα μέρη εδώ στο . Για την , δεν ξέρω αν την έχουμε δει.
Οπότε την αφήνω προς απόδειξη εδώ.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Να σημειώσω απλώς ότι η η άσκηση υπάρχει στο βιβλίο
Γεωμετρία του Γιάννη Ντάνη στη σελίδα 258, ως 692. θεώρημα.
Γεωμετρία του Γιάννη Ντάνη στη σελίδα 258, ως 692. θεώρημα.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Ας το δούμε και αυτό τότε.
Από τους γνωστούς τύπους όπου το εμβαδόν και η ημιπερίμετρος, αρκεί να δείξουμε ότι
Χρησιμοποιήσαμε επίσης τον τύπο . Κάνοντας ομώνυμα στο αριστερό μέλος και χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ήρωνα μένει να δείξουμε ότι
Αναπτύσσοντας το αριστερό μέλος ως πολυώνυμο του αρκεί να δείξουμε ότι
Αυτό είναι άμεσο αφού .
Από τους γνωστούς τύπους όπου το εμβαδόν και η ημιπερίμετρος, αρκεί να δείξουμε ότι
Χρησιμοποιήσαμε επίσης τον τύπο . Κάνοντας ομώνυμα στο αριστερό μέλος και χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ήρωνα μένει να δείξουμε ότι
Αναπτύσσοντας το αριστερό μέλος ως πολυώνυμο του αρκεί να δείξουμε ότι
Αυτό είναι άμεσο αφού .
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες