Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1798
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Φεβ 11, 2024 7:38 pm

Οι θετικοί αριθμοί a,b,c,d δεν υπερβαίνουν την μονάδα. Να αποδείξετε την ανισότητα

\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2} \geq \dfrac{1}{4} +(1-a)(1-b)(1-c)(1-d).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3342
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Μαρ 13, 2024 10:30 pm

Με χρήση της ταυτότητας g^2=(1-g)^2-2(1-g)+1 για g=a, b, c, d και των αντικαταστάσεων x=1-a, y=1-b, z=1-c, w=1-d η ζητούμενη ανισότητα γράφεται ως

x^2+y^2+z^2+w^2+16xyzw+4(x^2+y^2+z^2+w^2)xyzw\leq 2(x+y+z+w)+8(x+y+z+w)xyzw.

Λόγω της 0\leq x^2+y^2+z^2+w^2\leq x+y+z+w αρκεί να ισχύει η ανισότητα

16xyzw\leq (x+y+z+w)+4(x+y+z+w)xyzw.

Από ΑΓΜ έχουμε 4\sqrt[4]{xyzw}\leq x+y+z+w, άρα η ανισότητα ανάγεται, με \sqrt[4]{xyzw}=t, στην προφανώς ισχύουσα 4t^4-4t^3+1\geq 4t^4-4t^2+1\geq 0.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3342
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Μαρ 15, 2024 2:15 pm

Υστερόγραφο: εύκολα βλέπουμε ότι η ανισότητα γενικεύεται για n μεταβλητές στο [0,1], αναγόμενη κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο στην nt^n-nt^{n-1}+1>0 για 0\leq t\leq 1: με χρήση παραγώγων -- φεύγουμε λίγο εκτός φακέλου εδώ, δεν το προσπάθησα και πολύ αλλιώς* -- λαμβάνουμε ελάχιστη τιμή συνάρτησης 1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n-1}\right)>0.

*ίσως και να μην είναι εύκολο αυτό, και να είναι και ο λόγος που η ανισότητα δίνεται για 4 μεταβλητές -- ούτε καν για 3 μεταβλητές, όπου πάντως 3t^3-3t^2+1>\left(\dfrac{3t^2}{2}-1\right)^2\geq 0. [Για 1 ή 2 μεταβλητές υπάρχουν σύντομες αποδείξεις της αρχικής μέσω απλούστερων ανισοτήτων.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1798
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Μαρ 18, 2024 5:10 pm

gbaloglou έγραψε:
Παρ Μαρ 15, 2024 2:15 pm
Υστερόγραφο: εύκολα βλέπουμε ότι η ανισότητα γενικεύεται για n μεταβλητές στο [0,1], αναγόμενη κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο στην nt^n-nt^{n-1}+1>0 για 0\leq t\leq 1: με χρήση παραγώγων -- φεύγουμε λίγο εκτός φακέλου εδώ, δεν το προσπάθησα και πολύ αλλιώς* -- λαμβάνουμε ελάχιστη τιμή συνάρτησης 1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n-1}\right)>0.

*ίσως και να μην είναι εύκολο αυτό, και να είναι και ο λόγος που η ανισότητα δίνεται για 4 μεταβλητές -- ούτε καν για 3 μεταβλητές, όπου πάντως 3t^3-3t^2+1>\left(\dfrac{3t^2}{2}-1\right)^2\geq 0. [Για 1 ή 2 μεταβλητές υπάρχουν σύντομες αποδείξεις της αρχικής μέσω απλούστερων ανισοτήτων.]

Καλησπέρα κ. Γιώργο, Χρόνια πολλά και καλή Τεσσαρακοστή! Η ανισότητα είχε δοθεί στην ολυμπιάδα Euler, 2022 (έτσι ονομάζεται η πανρωσική για την 8η τάξη). Η λύση, που είχε υπόψη η επιτροπή, βασίζεται στην ανισότητα

(1-x)(1-y) \leq \left (1-\dfrac{x+y}{2} \right )^2, για x,y \in \mathbb{R}

αφού γίνει η παρατήρηση ότι a^2+b^2+c^2+d^2 \leq a+b+c+d, με χρήση της παραπάνω ανισότητας ανά ζεύγη (για αυτό και είναι σχετικά εύκολη για 4 μεταβλητές), έχουμε

(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \leq \left (1-\dfrac{a+b}{2} \right )^2 \cdot \left (1-\dfrac{c+d}{2} \right )^2 \leq \left(1-\dfrac{a+b+c+d}{4} \right )^4

θέτoντας t= \dfrac{a+b+c+d}{4}, αρκεί να αποδειχθεί η ανισότητα

\dfrac{1}{4t} \geq \dfrac{1}{4} +(1-t)^4 ή ισοδύναμα η (1-t)(4t(1-t)^3-1) \leq 0. Η οποία ισχύει, εφόσον

t \leq 1 και 4t(1-t)^3=4t(1-t)(1-t)^2 \leq 4 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot (1-t)^2 \leq 1.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3342
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Μαρ 19, 2024 5:48 pm

Aλεξανδρε πολύ ενδιαφέροντα όσα γράφεις, από πλευράς μου δίνω μία απόδειξη της τελικής ανισότητας χωρίς παραγώγους (βασισμένη στο ανάπτυγμα της [t+(1- t)]^n):

nt^n-nt^{n-1} +1=1-nt^{n-1}(1-t)=

=t^n+\dfrac{n(n-1)}{2}t^{n-2}(1-t)^2+...+\dfrac{n(n-1)}{2}t^2(1-t)^{n-2}+nt(1-t)^{n-1}+(1-t)^n>0.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5956
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα για αριθμούς που δεν υπερβαίνουν την μοναδα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Μαρ 19, 2024 9:24 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Φεβ 11, 2024 7:38 pm
Οι θετικοί αριθμοί a,b,c,d δεν υπερβαίνουν την μονάδα. Να αποδείξετε την ανισότητα
\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2} \geq \dfrac{1}{4} +(1-a)(1-b)(1-c)(1-d).
Προσωπικά την είχα σκεφτεί ως εξής:

Καταρχάς παρατηρούμε x \in \left( {0,1} \right] \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right) \in \left[ {0,1} \right) και βέβαια 0 < k \leqslant 1 \Rightarrow {k^n} \leqslant {k^m}, αν m \leqslant n.

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι \displaystyle{\frac{{\left( {1 - a} \right) + \left( {1 - b} \right) + \left( {1 - c} \right) + \left( {1 - d} \right)}}{{4\left( {a + b + c + d} \right)}} \geqslant \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right),}

που ισχύει αν τουλάχιστον ένας από τους \displaystyle{a,b,c,d} ισούται με την μονάδα.

Αν είναι όλοι διαφορετικοί της μονάδας, τοτε αρκεί να αποδείξουμε ότι 1 \geqslant \left( {a + b + c + d} \right)\root 4 \of {{{\left( {1 - a} \right)}^3}{{\left( {1 - b} \right)}^3}{{\left( {1 - c} \right)}^3}{{\left( {1 - d} \right)}^3}} ,

αρκεί 1 \geqslant \left( {a + b + c + d} \right)\root 4 \of {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right)} ,

αρκεί 4 \geqslant \left( {a + b + c + d} \right)\left[ {4 - \left( {a + b + c + d} \right)} \right], αρκεί {\left( {a + b + c + d - 2} \right)^2} \geqslant 0, που ισχύει.

Έγινε μία επαναληπτική εφαρμογή της AM \geqslant GM.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης