Το μέγιστο του ελάχιστου
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Το μέγιστο του ελάχιστου
Για κάθε ορίζουμε ως τον μικρότερο από από τους . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του .
Σχόλιο. Η άσκηση είναι επουσιώδης παραλλαγή (άλλα νούμερα) αλλά, κυρίως, βελτίωση μιας άσκησης που μου έστειλαν χθες από Ρουμανία. Ήταν από διαγωνισμό σε Β' Γυμνασίου. Μου άρεσε πολύ γι' αυτό την μοιράζομαι μαζύ σας.
Σχόλιο. Η άσκηση είναι επουσιώδης παραλλαγή (άλλα νούμερα) αλλά, κυρίως, βελτίωση μιας άσκησης που μου έστειλαν χθες από Ρουμανία. Ήταν από διαγωνισμό σε Β' Γυμνασίου. Μου άρεσε πολύ γι' αυτό την μοιράζομαι μαζύ σας.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Το μέγιστο του ελάχιστου
Η απάντηση είναι . Ας υποθέσουμε ότιMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Μάιος 01, 2023 11:15 pmΓια κάθε ορίζουμε ως τον μικρότερο από από τους . Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του .
Σχόλιο. Η άσκηση είναι επουσιώδης παραλλαγή (άλλα νούμερα) αλλά, κυρίως, βελτίωση μιας άσκησης που μου έστειλαν χθες από Ρουμανία. Ήταν από διαγωνισμό σε Β' Γυμνασίου. Μου άρεσε πολύ γι' αυτό την μοιράζομαι μαζύ σας.
.
Τότε, , άρα . Οπότε, συνεπώς . Άρα,
άτοπο.
Για να ολοκληρωθεί η λύση, παρατηρούμε ότι αν , τότε ισχύει ότι .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Το μέγιστο του ελάχιστου
Πολύ ωραία.
Η δική μου λύση: Δείχνουμε πρώτα ότι .
Aν τότε , και είμαστε εντάξει. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι .
Aν τότε , και είμαστε πάλι εντάξει. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι .
Aν τότε , και είμαστε πάλι εντάξει. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι .
Αλλά τότε , που ολοκληρώνει την απόδειξη του . Τέλος, αν είναι που ολοκληρώνει την άσκηση.
Η δική μου λύση: Δείχνουμε πρώτα ότι .
Aν τότε , και είμαστε εντάξει. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι .
Aν τότε , και είμαστε πάλι εντάξει. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι .
Aν τότε , και είμαστε πάλι εντάξει. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι .
Αλλά τότε , που ολοκληρώνει την απόδειξη του . Τέλος, αν είναι που ολοκληρώνει την άσκηση.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Το μέγιστο του ελάχιστου
Μαγικά από τον Μιχάλη και Ορέστη.(πως σκέφτηκαν το 2)
Να το δούμε χωρίς μαγικά.
Εστω ο ελάχιστος.
Θα είναι
Από τις δύο πρώτες προκύπτει ότι
Εξασφαλιζουμε βάζοντας τιμές ότι
αντικαθιστώντας στην τρίτη προκύπτει
Εξασφαλιζουμε βάζοντας τιμές ότι
η τέταρτη δίνει ότι
που άμεσα δίνει ότι
Να το δούμε χωρίς μαγικά.
Εστω ο ελάχιστος.
Θα είναι
Από τις δύο πρώτες προκύπτει ότι
Εξασφαλιζουμε βάζοντας τιμές ότι
αντικαθιστώντας στην τρίτη προκύπτει
Εξασφαλιζουμε βάζοντας τιμές ότι
η τέταρτη δίνει ότι
που άμεσα δίνει ότι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Το μέγιστο του ελάχιστου
.
Σωστά. Απέκρυψα την σκέψη μου. Επανορθώνω.
Προκύπτει από το γεγονός ότι αν το είναι ίσο με π.χ. την πρώτη συντεταγμένη (όμοια οι άλλες περιπτώσεις), τότε μεγαλώνοντας ελάχιστα το (αλλά να παραμένει μικρότερο από τις άλλες συντεταγμένες) έχει ως αποτέλεσμα να μεγαλώνει το minimum. Άρα περιμένουμε ότι το μέγιστο minimum να έχει όλες τις συντεταγμένες ίσες, εδώ . Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε τις τιμές που έγραψα στην λύση μου (όπως και ο Ορέστης), δηλαδή . Είναι τότε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες