Σύστημα με παράμετρο

#1

Να λύσετε, για τις διάφορες της παραμέτρου

το σύστημα:
$\displaystyle{\begin{cases} x^2 + kxy + y^2 = z, \\ y^2 + kyz + z^2 = x, \\ z^2 + kzx + x^2 = y. \end{cases}}$

vgreco · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 21, 2022 1:08 am
Να λύσετε, για τις διάφορες της παραμέτρου το σύστημα:
$\displaystyle{\begin{cases} x^2 + kxy + y^2 = z, \\ y^2 + kyz + z^2 = x, \\ z^2 + kzx + x^2 = y. \end{cases}}$

Μία προσπάθεια με πάρα πολλές επιφυλάξεις:

Καταρχάς, παρατηρώ πως για κάθε $k \in \mathbb{R}$ , έχω τη λύση (x, y, z) = (0, 0, 0)

.

Τώρα: αφαιρώντας ανά δύο κατά μέλη τις σχέσεις, προκύπτει το σύστημα:

$\displaystyle{ \left(\Sigma_1\right): \begin{cases} (x - z)(ky + x + z + 1) = 0 \\ (y - x)(kz + x + y + 1) = 0 \\ (z - y)(kx + y + z + 1) = 0 \end{cases} }$

και έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

Όλες οι "δεξιές" ή "αριστερές" παρενθέσεις είναι , οπότε . Τότε θα έχουμε:

$\displaystyle{(k + 2)x^2 = x \overset{x \neq 0}{\iff} (k + 2)x = 1}$

Έστω $k \neq -2$ . Παίρνω τη λύση: $(x, y, z) = \left( \dfrac{1}{k + 2}, \dfrac{1}{k + 2}, \dfrac{1}{k + 2} \right)$ .

Σε κάθε άλλη πιθανή περίπτωση, δύο τουλάχιστον από τους θα είναι ίσοι. Έστω, λοιπόν, . Το αρχικό σύστημα γράφεται:

$\displaystyle{ \left(\Sigma_2\right): \begin{cases} (k + 2) x^2 = z, \\ x^2 + kxz + z^2 = x \end{cases} }$

Αντικαθιστώντας το στη δεύτερη εξίσωση και κάνοντας πράξεις ισοδύναμα, παίρνουμε:

$\displaystyle{ x^2 + kx(k + 2)x^2 + (k + 2)^2 x^4 = x \overset{x \neq 0}{\iff} (k + 2)^2 x^3 + k(k + 2)x^2 + x - 1 = 0 }$

Έστω $k \neq -2$ . Τότε το $\dfrac{1}{k + 2}$ είναι προφανώς ρίζα της εξίσωσης. Διαιρώ το πολυώνυμο με ,
και η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{ (kx + 2x - 1) \left[ (k + 2)x^2 + (k + 1)x + 1 \right] = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{k + 2} \, \lor \, (k + 2)x^2 + (k + 1)x + 1 = 0 }$

Η δεύτερη εξίσωση έχει διακρίνουσα $\Delta = k^2 - 2k - 7$ , της οποίας οι ρίζες είναι: $1 + 2\sqrt2$ , $1 - 2\sqrt2$ , οπότε
για $k \geq 1 + 2\sqrt2 \, \lor \, k \leq 1 - 2\sqrt2$ : $\boxed{x = \dfrac{-k - 1 \pm \sqrt{k^2 - 2k - 7}}{2(k + 2)}}$ .

Αντικαθιστώ το στο $\left(\Sigma_2\right)$ :

$\displaystyle{ \begin{aligned} z = (k + 2)x^2 \Rightarrow z &= (k + 2) \ \dfrac{\left( -k - 1 \pm \sqrt{k^2 - 2k - 7} \right) ^2 } { 4 (k + 2)^2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow z &= \dfrac{ k^2 + 2k + 1 + k^2 - 2k - 7 \mp (k + 1) \sqrt{k^2 - 2k - 7} } { 4(k + 2) } \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow z &= \dfrac{ k^2 \mp (k + 1) \sqrt{k^2 - 2k - 7} - 3 } { 2(k + 2) } \end{aligned} }$

. Το γράφεται:
1. Αν , μόνη λύση.
2. Αν π.χ. , λύσεις είναι η και οι αναδιατάξεις αυτής.

Συγκεντρωτικά:

$k \in \mathbb{R}: (x, y, z) = (0, 0, 0)$
:
- $k \in \mathbb{R} - \{ 2 \}$ : $(x, y, z) = \left( \dfrac{1}{k + 2}, \dfrac{1}{k + 2}, \dfrac{1}{k + 2} \right)$
- $k \in \left[ 1 + 2 \sqrt2, + \infty \right) \, \lor \, k \in \left( - \infty, -2 \right) ∪ \left( -2, 1 - 2\sqrt2 \right]$ :
  
  Για συντομία, ας είναι $A = \dfrac{-k - 1 \pm \sqrt{k^2 - 2k - 7}}{2(k + 2)}$ και $B = \dfrac{ k^2 \mp (k + 1) \sqrt{k^2 - 2k - 7} - 3 }{ 2(k + 2) }$ .
  Λύσεις είναι η και οι αναδιατάξεις αυτής.
και οι αναδιατάξεις.

Σύστημα με παράμετρο

Σύστημα με παράμετρο

Re: Σύστημα με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση