Πλήθος Λύσεων!

Lymperis Karras · #1

Μια μίξη άλγεβρας - θεωρίας αριθμών!
Ωστόσο, βρήκα μια αλγεβρική λύση που μου άρεσε για το 3ο ερώτημα, οπότε την τοποθετώ σε αυτόν τον φάκελο.

Οι αριθμοί x,y,z

είναι θετικοί ακέραιοι και ικανοποιούν την εξίσωση x+y+z=2013

(E)
α) Να βρείτε το πλήθος των τριάδων (x,y,z)

που είναι λύσεις της εξίσωσης (E).
β) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης (Ε) για τις οποίες ισχύει x=y

.
γ) Να βρείτε την λύση (x,y,z)

της (Ε) για την οποία είναι $xyz=xyz_{max}$

2nisic · #2

α) $\binom{2013+3-1}{2013}-3\binom{2013+2-1}{2013}+3\binom{2013+1-1}{2013}=\binom{2012}{2}$

β) 2x+y=2013

Για καθε $1\leq x\leq 1006$ υπάρχει μοναδικό

.Άρα το πλήθος είναι 1006

.

γ)
$xyz\leq (\frac{x+y+z}{3})^{3}=(\frac{2013}{3})^{3}$
Και η ισότητα ισχύει όταν x=y=z=671

.

Lymperis Karras · #3

2nisic έγραψε: ↑
Τρί Απρ 27, 2021 12:57 am
α) $\binom{2013+3-1}{2013}-3\binom{2013+2-1}{2013}+3\binom{2013+1-1}{2013}=\binom{2012}{2}$

β)
Για καθε $1\leq x\leq 1006$ υπάρχει μοναδικό .Άρα το πλήθος είναι .

γ)
$xyz\leq (\frac{x+y+z}{3})^{3}=(\frac{2013}{3})^{3}$
Και η ισότητα ισχύει όταν .

Πολύ ωραία!

Εναλλακτικά για το τρίτο, θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει πως το γινόμενο των προσθετέων ενός αθροίσματος μεγιστοποιείται όταν αυτοί εξισώνονται.

Επίσης, για το 1ο θα μπορούσε κανείς να πει πως έχουμε $x_{min}=y_{min}=z_{min}=1$ άρα $x_{max}=2011$

$\forall x\in \mathbb{N}$ , $x\leq 2011$ , θα έχουμε 2013-1-x=2012-x

λύσεις. Άρα, έχουμε

$\sum_{x=1}^{2011}2012-x = 2011+2010+...+2+1=\dfrac{2011\cdot 2012}{2}=2023066$ λύσεις και τελειώσαμε.

2nisic · #4

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Τρί Απρ 27, 2021 10:32 am
[

Επίσης, για το 1ο θα μπορούσε κανείς να πει πως έχουμε $x_{min}=y_{min}=z_{min}=1$ άρα $x_{max}=2011$

$\forall x\in \mathbb{N}$ , $x\leq 2011$ , θα έχουμε λύσεις. Άρα, έχουμε

$\sum_{x=1}^{2011}2012-x = 2011+2010+...+2+1=\dfrac{2011\cdot 2012}{2}=2023066$ λύσεις και τελειώσαμε.

Η ποίο απλά έχουμε 2013

μπάλες και θέλουμε να τοποθετήσουμε ανάμεσα τους δύο πασαλους.
Υπάρχουν 2012

θέσεις (δεν μπορούμε να βάλουμε τους δύο πασαλους διαδοχικά ) άρα το πλήθος των λύσεων είναι $\binom{2012}{2}$

Πλήθος Λύσεων!

Πλήθος Λύσεων!

Re: Πλήθος Λύσεων!

Re: Πλήθος Λύσεων!

Re: Πλήθος Λύσεων!

Μέλη σε σύνδεση