Ανισότητα

Lymperis Karras · #1

Αν

θετικοί ακέραιοι να δείξετε ότι:
$\frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac}+\frac{b}{3b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{c}{3c^{2}+a^{2}+2bc}\leq \frac{3}{2(a+b+c)}$

StamatisGoudis · #2

Χρησιμοποιώντας την γνωστή $a^{2}+b^{2} \geq 2ab$ , έχουμε: $\frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac} \leq \frac{a}{2a^{2}+2ab+2ac} = \frac{1}{2(a+b+c)}$
Συνεπώς: $LHS=\sum\frac{a}{3a^{2}+b^2+2ac} \leq \frac{3}{2(a+b+c)}=RHS$
Η ισότητα όταν a=b=c

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 30, 2021 6:25 pm
Αν θετικοί ακέραιοι να δείξετε ότι:
$\frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac}+\frac{b}{3b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{c}{3c^{2}+a^{2}+2bc}\leq \frac{3}{2(a+b+c)}$

Λίγο διαφορετικά.
Γράφεται
$\displaystyle 2(a+b+c)(\frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac}+\frac{b}{3b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{c}{3c^{2}+a^{2}+2bc})\leq 3$
Αλλά
$\displaystyle 2(a+b+c)\frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac}=\frac{2a^2+2ab+2ac}{3a^{2}+b^{2}+2ac}=1-\frac{(a-b)^2}{3a^{2}+b^{2}+2ac}$
και όμοια τα άλλα.
Προσθέτοντας προκύπτει.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση