Ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 77
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Τρί Μαρ 30, 2021 6:25 pm

Αν a,b,c θετικοί ακέραιοι να δείξετε ότι:
\frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac}+\frac{b}{3b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{c}{3c^{2}+a^{2}+2bc}\leq \frac{3}{2(a+b+c)}


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
StamatisGoudis
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2020 2:02 pm

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από StamatisGoudis » Τρί Μαρ 30, 2021 7:04 pm

Χρησιμοποιώντας την γνωστή a^{2}+b^{2} \geq 2ab, έχουμε: \frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac} \leq \frac{a}{2a^{2}+2ab+2ac} = \frac{1}{2(a+b+c)}
Συνεπώς: LHS=\sum\frac{a}{3a^{2}+b^2+2ac} \leq \frac{3}{2(a+b+c)}=RHS
Η ισότητα όταν a=b=c


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 30, 2021 8:23 pm

Lymperis Karras έγραψε:
Τρί Μαρ 30, 2021 6:25 pm
Αν a,b,c θετικοί ακέραιοι να δείξετε ότι:
\frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac}+\frac{b}{3b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{c}{3c^{2}+a^{2}+2bc}\leq \frac{3}{2(a+b+c)}
Λίγο διαφορετικά.
Γράφεται
\displaystyle 2(a+b+c)(\frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac}+\frac{b}{3b^{2}+c^{2}+2ab}+\frac{c}{3c^{2}+a^{2}+2bc})\leq 3
Αλλά
\displaystyle 2(a+b+c)\frac{a}{3a^{2}+b^{2}+2ac}=\frac{2a^2+2ab+2ac}{3a^{2}+b^{2}+2ac}=1-\frac{(a-b)^2}{3a^{2}+b^{2}+2ac}
και όμοια τα άλλα.
Προσθέτοντας προκύπτει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης