Ανισότητα Δύσκολη (?)

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

2nisic
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Ανισότητα Δύσκολη (?)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Φεβ 12, 2021 12:44 pm

Έστω a,b,c θετικοί πραγματική αριθμοί και k \epsilon \mathbb{N} ,k\neq 0.Να αποδειχθεί η ανησοτητας:


\sum \frac{a}{\sqrt[k]{a+2b}}\geq\sqrt[k]{(a+b+c)^{k-1}}



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 152
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ανισότητα Δύσκολη (?)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Παρ Φεβ 12, 2021 1:03 pm

Έστω f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[k]{x}}=x^{-\frac{1}{k}}\Rightarrow f'(x)=-\dfrac{1}{k}\cdot x^{-\frac{1}{k}-1}\Rightarrow f''(x)=\dfrac{1}{k}(\dfrac{1}{k}+1)\cdot x^{-\frac{1}{k}-2}>0 για x>0, k\in \mathbb{N}^*
Άρα η f(x) είναι κυρτή για x>0, k\in \mathbb{N}^* και τώρα από την γενίκευση του θεωρήματος Jensen:

RHS=a\cdot f(a+2b)+b\cdot f(b+2c)+c\cdot f(c+2a)\geq (a+b+c)\cdot f(\dfrac{a(a+2b)+b(b+2c)+c(c+2a)}{a+b+c})
= (a+b+c)\cdot f(a+b+c)=(a+b+c)\cdot \dfrac{1}{\sqrt[k]{a+b+c}}=\sqrt[k]{(a+b+c)^{k-1}}


2nisic
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Ανισότητα Δύσκολη (?)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Φεβ 12, 2021 1:14 pm

Ωραία λύση Μανόλη!!!
Η δικιά μου στηριζόταν στην Holder:

(LHS^{k})[\sum a(a+2b)]\geq (a+b+c)^{k+1}\Leftrightarrow (LHS^{k})[(a+b+c)^{2 }]\geq (a+b+c)^{k+1}
   \Leftrightarrow LHS\geq \sqrt[k]{(a+b+c)^{k-1}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης