Ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Ιαν 15, 2021 6:19 pm

Αποδείξτε ότι :

Αν \displaystyle{x+y+z=12} τότε \displaystyle{\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq \frac{12}{5}.}
τελευταία επεξεργασία από matha σε Παρ Ιαν 15, 2021 6:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: Μεταγραφή σε LaTeX.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανησοτητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 15, 2021 6:44 pm

2nisic έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 6:19 pm
Αποδείξτε ότι :
Αν x+y+z=12 τότε
(x/x+1)+(y/y+1)+(z/z+1)>=12/5
Παρακαλώ γράψε σε tex όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας, βάλε τόνο στην λέξη του τίτλου και ακόμη καλύτερα, διόρθωσε το ορθογραφικό λάθος στον τίτλο που βγάζει μάτι.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6317
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Ιαν 15, 2021 6:53 pm

Η ανισότητα είναι λάθος. Βάλε π.χ. \displaystyle{x=y=0^+} και \displaystyle{z=12^-}


Μάγκος Θάνος
2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Ιαν 15, 2021 7:12 pm

:oops:
Ευχαριστώ πολύ


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 15, 2021 7:13 pm

2nisic έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 6:19 pm
Αποδείξτε ότι :

Αν \displaystyle{x+y+z=12} τότε \displaystyle{\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq \frac{12}{5}.}
Ευχαριστώ τον Γενικό Συντονιστή, φίλο Θάνο, για την διόρθωση του latex. Είναι να απορεί κανείς για τον νεαρό θεματοθέτη να έχει τέτοια απαξίωση στο φόρουμ που τον φιλοξενεί. Όπως και να είναι, γράφω απόδειξη του ζητούμενου (ακριβέστερα με την ανισότητα ανάποδα), δηλαδή

\displaystyle{\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\leq \frac{12}{5}}. Επίσης παίρνω x,y,z >0 γιατί αλλιώς δεν ισχύει.

Η (σωστή) αποδεικτέα ισοδυναμεί με \displaystyle{\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{3}{5}}.

Τώρα, με a=x+1, b=y+1,c=z+1 μας δίνεται a+b+c=15 και θέλουμε να δείξουμε ότι \displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{5}}

Έχουμε

\displaystyle{ 15\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) = (a+b+c) \left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}  \right ) \ge 3\sqrt [3]{abc} \cdot 3\sqrt [3] {\frac{1}{abc}} =9}
από όπου το ζητούμενο.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Ιαν 15, 2021 7:17 pm

Η πραγματική άσκησης ήταν αυτή:
\sum \frac{bc+a+1}{a^{2}+1}\leq \frac{39}{10} με a+b+c=1 και a,b,c θετικοί

Και μετά από καμιά βήματα είχα φτάσει στην προηγούμενη αλλά κάπου είχα βάλει λάθος φορά.
τελευταία επεξεργασία από 2nisic σε Παρ Ιαν 15, 2021 8:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


2nisic
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Δεκ 04, 2020 12:06 pm

Re: Ανισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 2nisic » Παρ Ιαν 15, 2021 7:18 pm

Πως γράφω σε LaTeX?


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης