Σύνολο τιμών αθροίσματος
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Σύνολο τιμών αθροίσματος
Έστω τέσσερις πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθούν όλες οι τιμές που μπορεί να λάβει η παράσταση αν .
Σχόλιο: Είναι προφανές ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι στο διάστημα . Το ερώτημα είναι αν εξαντλούν το διάστημα ή μένει κάποιος έξω. Υπάρχουν διάφορες λύσεις. Περιέργως, αν και δείχνει απόλυτα προφανές, θέλει λίγη δουλίτσα. Απλή, δεν λέω, αλλά όχι τετριμμένη.
Σχόλιο: Είναι προφανές ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι στο διάστημα . Το ερώτημα είναι αν εξαντλούν το διάστημα ή μένει κάποιος έξω. Υπάρχουν διάφορες λύσεις. Περιέργως, αν και δείχνει απόλυτα προφανές, θέλει λίγη δουλίτσα. Απλή, δεν λέω, αλλά όχι τετριμμένη.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Έστω ότι υπάρχει τιμή στο διάστημα: που το άθροισμα δεν παίρνει. Προφανώς αυτή η τιμή θα είναι αναγκαστικά της μορφής για κάποιος θετικό πραγματικό με και , δηλαδή . Θεωρούμε και . Τότε όμως . Άτοπο. Άρα το άθροισμα παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος . Ελπίζω να μη παίρνω κάτι που δεν είναι δεδομένο ως προφανές.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
lleny, οι δικές μου λύσεις είναι διαφορετικές και γι' αυτό ίσως κάτι δεν βλέπω τον συλλογισμό σου στο βήμα
Εμένα (εκτός αν κάνω λάθος) μου φαίνεται ότι κάτι δεν εξηγείς σωστά. Με δικά μου λόγια η ένστασή μου, και κάπως αναλυτικά: Αν κάποια τιμή μένει έξω από το διάστημα τότε την τιμή αυτή μπορούμε να την γράψουμε ως με . Επίσης το αυτό θα ικανοποιεί αφού είναι αριθμός του διαστήματος. Δηλαδή το ικανοποιεί . Mέχρι εκεί όλα καλά. Γιατί όμως αναγκαστικά θα ισχύει (όπως γράφεις) και ; Δεν το βλέπω.
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Καλησπέρα και χρόνια πολλά!
Η παρακάτω προσπάθεια έχει σοβαρά προβλήματα. Ευχαριστώ τον κύριο Λάμπρου για τις επισημάνσεις.
Βάζω μια διαφορετική προσέγγιση , η οποία ίσως να είναι κάπως ακατάλληλη για αυτό το θέμα και να κάνει τα εύκολα δύσκολα. Παρ' όλ' αυτά, την αναρτώ για λόγους μαθηματικής πολυφωνίας.
Χρησιμοποιώ ένα λήμμα:
Αν πραγματικοί αριθμοί, τότε κάθε αριθμός στο μπορεί να γραφτεί στη μορφή
, όπου
θετικοί πραγματικοί αριθμοί . Αντίστροφα, κάθε αριθμός της εν λόγω μορφής ανήκει στο .
Πράγματι, με κατάλληλα θετικά βάρη , κάθε αριθμός στο μπορεί να γραφτεί ως μέσος όρος των . Αντίστροφα, ένας αριθμός στη δεδομένη μορφή είναι ο μέσος όρος των με βάρη και άρα ανήκει στο .
Ερχόμαστε στο πρόβλημα.
Έχω και
.
Ισχύει και τα είναι ενδιάμεσα.
Οπότε , από το λήμμα ο αριθμός , ανήκει στο .
Αντίστροφα, εφαρμόζοντας πάλι το λήμμα, επειδή η τετράδα των βαρών μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε θετικές πραγματικές τιμές, ο αριθμός
μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο .
Δεν είμαι καθόλου βέβαιος αν επαρκεί αυτό το επιχείρημα.
Η παρακάτω προσπάθεια έχει σοβαρά προβλήματα. Ευχαριστώ τον κύριο Λάμπρου για τις επισημάνσεις.
Βάζω μια διαφορετική προσέγγιση , η οποία ίσως να είναι κάπως ακατάλληλη για αυτό το θέμα και να κάνει τα εύκολα δύσκολα. Παρ' όλ' αυτά, την αναρτώ για λόγους μαθηματικής πολυφωνίας.
Χρησιμοποιώ ένα λήμμα:
Αν πραγματικοί αριθμοί, τότε κάθε αριθμός στο μπορεί να γραφτεί στη μορφή
, όπου
θετικοί πραγματικοί αριθμοί . Αντίστροφα, κάθε αριθμός της εν λόγω μορφής ανήκει στο .
Πράγματι, με κατάλληλα θετικά βάρη , κάθε αριθμός στο μπορεί να γραφτεί ως μέσος όρος των . Αντίστροφα, ένας αριθμός στη δεδομένη μορφή είναι ο μέσος όρος των με βάρη και άρα ανήκει στο .
Ερχόμαστε στο πρόβλημα.
Έχω και
.
Ισχύει και τα είναι ενδιάμεσα.
Οπότε , από το λήμμα ο αριθμός , ανήκει στο .
Αντίστροφα, εφαρμόζοντας πάλι το λήμμα, επειδή η τετράδα των βαρών μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε θετικές πραγματικές τιμές, ο αριθμός
μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο .
Δεν είμαι καθόλου βέβαιος αν επαρκεί αυτό το επιχείρημα.
τελευταία επεξεργασία από ksofsa σε Δευ Δεκ 28, 2020 5:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κώστας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Πολλά πράγματα δεν καταλαβαίνω στον συλλογισμό. Πρώτα απ΄ όλα χρησιμοποιείς ένα αναπόδεικτο λήμμα με μεταβλητές που δεν βλέπω πώς ακριβώς σχετίζεται με τις δύο που έχουμε εδώ.ksofsa έγραψε: ↑Δευ Δεκ 28, 2020 4:29 pmΚαλησπέρα και χρόνια πολλά!
Βάζω μια διαφορετική προσέγγιση , η οποία ίσως να είναι κάπως ακατάλληλη για αυτό το θέμα και να κάνει τα εύκολα δύσκολα. Παρ' όλ' αυτά, την αναρτώ για λόγους μαθηματικής πολυφωνίας.
Χρησιμοποιώ ένα λήμμα:
Αν πραγματικοί αριθμοί, τότε κάθε αριθμός στο μπορεί να γραφτεί στη μορφή
, όπου
θετικοί πραγματικοί αριθμοί . Αντίστροφα, κάθε αριθμός της εν λόγω μορφής ανήκει στο .
Πράγματι, με κατάλληλα θετικά βάρη , κάθε αριθμός στο μπορεί να γραφτεί ως μέσος όρος των . Αντίστροφα, ένας αριθμός στη δεδομένη μορφή είναι ο μέσος όρος των με βάρη και άρα ανήκει στο .
Ερχόμαστε στο πρόβλημα.
Έχω και
.
Ισχύει και τα είναι ενδιάμεσα.
Οπότε , από το λήμμα ο αριθμός , ανήκει στο .
Αντίστροφα, εφαρμόζοντας πάλι το λήμμα, επειδή η τετράδα των βαρών μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε θετικές πραγματικές τιμές, ο αριθμός
μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο .
Δεν είμαι καθόλου βέβαιος αν επαρκεί αυτό το επιχείρημα.
Δεύτερον κάνεις ολόκληρη μανούβρα για να αποδείξεις μέσω λήμματος ότι ο αριθμός που γράφεις ανήκει στο διάστημα . Μα αυτό είναι τετριμμένο, και το συμπεριέλαβα μάλιστα στο σχόλιο που έγραψα στην εκφώνηση (πρώτο ποστ).
Τέλος, δεν είμαι βέβαιος τι εννονείς όταν λες ότι "η τετράδα των βαρών μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε θετικές πραγματικές τιμές". Π.χ. μπορεί να πάρει την τιμή ; Όχι βέβαια διότι οι αριθμοί που γράφεις δεσμεύνονται από την ταυτότητα , οπότε η αποκλείεται.
Αυτά είναι μερικά από τα προβλήματα που βλέπω. Σπεύδω όμως να σημειώσω ότι μία από τις αποδείξεις του αποδεικτέου, που γνωρίζω, γυρίζει περί από αυτή την θεματική (και είναι αρκετά απλή που δεν χρειάζεται να ερμηνεύσεις τα επί μέρους βήματα).
Και μία ερώτηση άλλου τύπου. Τι ακριβώς εννοείς όταν λες "Βάζω μια διαφορετική προσέγγιση ,... Παρ' όλ' αυτά, την αναρτώ για λόγους μαθηματικής πολυφωνία". Πολυφωνία σε τι; Έχεις ικανοποιηθεί ότι η προηγούμενη προσέγγιση, του llenny, είναι σωστή, και τώρα βάζεις μια άλλη; Έγώ έχω τις επιφυλάξεις μου.
Για να συνοψίσω: Το πρόβλημα είναι ακόμα ανοικτό. Όσοι πιστοί προσέλθετε.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Χρόνια Πολλά!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Δεκ 28, 2020 8:53 amΈστω τέσσερις πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθούν όλες οι τιμές που μπορεί να λάβει η παράσταση αν .
Σχόλιο: Είναι προφανές ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι στο διάστημα . Το ερώτημα είναι αν εξαντλούν το διάστημα ή μένει κάποιος έξω. Υπάρχουν διάφορες λύσεις. Περιέργως, αν και δείχνει απόλυτα προφανές, θέλει λίγη δουλίτσα. Απλή, δεν λέω, αλλά όχι τετριμμένη.
Η παράσταση μπορεί να πάρει όλες τις τιμές στο .
Αρχίζουμε με ένα Λήμμα.
Λήμμα: Αν για τους πραγματικούς ισχύει τότε υπάρχουν και ώστε και , .
Απόδειξη: Έστω με . Παίρνουμε τώρα δύο θετικούς και ώστε . Επιλέγουμε και . Προφανώς και , .
Στο πρόβλημα μας, έστω ένας οποιοσδήποτε . Έστω με . Χρησιμοποιώντας το Λήμμα υπάρχουν και ώστε και .
Επιλέγουμε τώρα και . Προφανώς , και , οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Δευ Δεκ 28, 2020 7:07 pm
Αρχίζουμε με ένα Λήμμα.
Λήμμα: Αν για τους πραγματικούς ισχύει τότε υπάρχουν και ώστε και , .
Απόδειξη: Έστω με . Παίρνουμε τώρα δύο θετικούς και ώστε . Επιλέγουμε και . Προφανώς και , .
Άλλη απόδειξη του Λήμματος (αντί για αφαίρεση από το μέχρι να φτάσουμε στο , το κάνω με διαίρεση. Παίρνω όμως γιατί αυτό χρειαζόμαστε. Άλλωστε η απόδειξη προσαρμόζεται και για όλες τις περιπτώσεις). Συγκεκριμένα παίρνουμε
και . Αυτά κάνουν την δουλειά. Τελειώσαμε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Γράφω μία λύση στο μήκος κύματος της λύσης του ksofsa, όπως την αντιλαμβάνομαι, οπότε εκπληρώνω το σχόλιο
και παρατηρούμε ότι
(λόγω του παραπάνω περί κυρτού συνδυασμού). Τελειώσαμε.
Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις. Σχολιάζω ότι η παραπάνω ιδιότητα/άσκηση μου χρειάστηκε κάπου, χθες, σε ένα βήμα ενός προβλήματος που με απασχολούσε. Το θεώρησα "προφανές" αλλά όταν κάθισα να το γράψω, διαπίστωσα ότι έχει τις δυσκολίες του. Τώρα έχω πολλές λύσεις, εντός και εκτός φακέλου. Θα χαρώ να δω εδώ μερικές ακόμα.
Έστω λοιπόν . Τότε υπάρχει τέτοιο ώστε . Όσοι δεν το πιστεύουν απλά μπορούν να λύσουν ως προς . To γεγονός αυτό είναι γνωστό, και συνήθως διατυπώνεται ως "όλα τα σημεία ενός διαστήματος είναι κυρτός συνδυασμός των άκρων του, και αντίστροφα". Έχουμε τότεMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Δεκ 28, 2020 5:10 pmΣπεύδω όμως να σημειώσω ότι μία από τις αποδείξεις του αποδεικτέου, που γνωρίζω, γυρίζει περί από αυτή την θεματική (και είναι αρκετά απλή που δεν χρειάζεται να ερμηνεύσεις τα επί μέρους βήματα).
και παρατηρούμε ότι
(λόγω του παραπάνω περί κυρτού συνδυασμού). Τελειώσαμε.
Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις. Σχολιάζω ότι η παραπάνω ιδιότητα/άσκηση μου χρειάστηκε κάπου, χθες, σε ένα βήμα ενός προβλήματος που με απασχολούσε. Το θεώρησα "προφανές" αλλά όταν κάθισα να το γράψω, διαπίστωσα ότι έχει τις δυσκολίες του. Τώρα έχω πολλές λύσεις, εντός και εκτός φακέλου. Θα χαρώ να δω εδώ μερικές ακόμα.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Θα λύσω άλλη άσκηση από την οποία προκύπτει άμεσα.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Δεκ 28, 2020 8:53 amΈστω τέσσερις πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθούν όλες οι τιμές που μπορεί να λάβει η παράσταση αν .
Σχόλιο: Είναι προφανές ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι στο διάστημα . Το ερώτημα είναι αν εξαντλούν το διάστημα ή μένει κάποιος έξω. Υπάρχουν διάφορες λύσεις. Περιέργως, αν και δείχνει απόλυτα προφανές, θέλει λίγη δουλίτσα. Απλή, δεν λέω, αλλά όχι τετριμμένη.
Αν
τότε κάθε
γράφεται στην μορφή
όπου
Απόδειξη.
Εχουμε
άρα
1περίπτωση
Θέτουμε
2περίπτωση
Εχουμε
άρα
Θέτουμε
Σχόλια.
1)Δεν χρειάζεται η συνθήκη
2)ενα από τα μπορούμε να το πάρουμε όσο κοντά θέλουμε στο η στο
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Δίνω μια ακόμη προσπάθεια.
Έστω .
Τότε, ,για κάποιο .
Θέτω . Είναι και .
Άρα, κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή , και συνεπώς το μπορεί να πάρει όλες τις τιμές στο .
Έστω .
Τότε, ,για κάποιο .
Θέτω . Είναι και .
Άρα, κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή , και συνεπώς το μπορεί να πάρει όλες τις τιμές στο .
Κώστας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Μία από τις λύσεις που έχω είναι παραλλαγή της παραπάνω μόνο που το κάνω απευθείας για ανοικτά διαστήματα (στην παραπάνω ισοδύναμη άσκηση πρέπει να "κουνήσουμε" λίγο τις επιλεγήσεις τιμές). Επίσης δουλεύω με το ως ενδιάμεσο φράγμα του αντί του της λύσης του Σταύρου. Αυτό είναι δευτερεύον γιατί με παραλλαγή μπορώ και έτσι.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Δεκ 28, 2020 8:55 pmΘα λύσω άλλη άσκηση από την οποία προκύπτει άμεσα.
Αν
τότε κάθε
γράφεται στην μορφή
όπου
Απόδειξη.
Εχουμε
άρα
1περίπτωση
Θέτουμε
2περίπτωση
Εχουμε
άρα
Θέτουμε
Έστω . Διακρίνουμε περιπτώσεις
1.
Τότε επιλέγουμε οποιοδήποτε με και . Είναι τότε
και εύκολα ελέγχουμε ότι
2.
Τότε επιλέγουμε οποιοδήποτε με και . Είναι τότε
και εύκολα ελέγχουμε ότι
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Δεκ 28, 2020 10:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Πολύ ωραίο και λιτό.
Αν παρατηρήσεις είναι ουσιαστικά ίδια με την λύση μου στο ποστ # αλλά με στην θέση του
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Μπορούμε να γενικεύσουμε:
Αν , τότε
το μπορεί να πάρει όλες τις τιμές στο .
Πράγματι, αν , τότε
, για κάποιο .
Άρα, .
Βέβαια, μπορούμε να αποδείξουμε τη γενίκευση και απλούστερα με επαγωγή στο .
Για , δείξαμε ότι ισχύει.
Για το επαγωγικό βήμα , έχουμε ότι
και και το ζητούμενο έπεται από την εφαρμογή της περίπτωσης για δύο διαστήματα , που δείξαμε ότι ισχύει .
Αν , τότε
το μπορεί να πάρει όλες τις τιμές στο .
Πράγματι, αν , τότε
, για κάποιο .
Άρα, .
Βέβαια, μπορούμε να αποδείξουμε τη γενίκευση και απλούστερα με επαγωγή στο .
Για , δείξαμε ότι ισχύει.
Για το επαγωγικό βήμα , έχουμε ότι
και και το ζητούμενο έπεται από την εφαρμογή της περίπτωσης για δύο διαστήματα , που δείξαμε ότι ισχύει .
Κώστας
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Για να το δούμε με βαρεία εργαλεία.
Θεωρούμε την
με
Προφανώς είναι συνεχής.
Λόγω συνεκτικότητας η εικόνα είναι διάστημα.
Τα υπόλοιπα είναι σχεδόν προφανή.
Τα ίδια ισχύουν και για περισσότερα διαστήματα.
Θεωρούμε την
με
Προφανώς είναι συνεχής.
Λόγω συνεκτικότητας η εικόνα είναι διάστημα.
Τα υπόλοιπα είναι σχεδόν προφανή.
Τα ίδια ισχύουν και για περισσότερα διαστήματα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Μία παραλλαγή αυτής είχα κατά νου όταν παραπάνω έγραφα για λύσεις "εντός ή εκτός φακέλου". Συγκεκριμένα, κοιτάμε την σε χωρίο με βάση κλειστά διαστήματα, με .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Δεκ 29, 2020 12:23 amΓια να το δούμε με βαρεία εργαλεία.
Θεωρούμε την
με
Προφανώς είναι συνεχής.
Λόγω συνεκτικότητας η εικόνα είναι διάστημα.
Τα υπόλοιπα είναι σχεδόν προφανή.
Τα ίδια ισχύουν και για περισσότερα διαστήματα.
Τώρα εφαρμόζουμε Bolzano, αλλά στην περίπτωση που για κάποιο εσωτερικό σημείο ο Bolzano μας δώσει ή στο σύνορο, με , τότε πρέπει να το κουνήσουμε λίγο. Π.χ. αν είχαμε , θα το αλλάζαμε σε . Kαι λοιπά.
Έχω και μία ωραία λύση με Αναλυτική Γεωμετρία. Επειδή θέλει σχήμα, επιφυλάσσομαι για αργότερα. Τώρα δεν ... έχω ξυπνήσει ακόμα.
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Καλημέρα!
Δίνω μια προσέγγιση που έχει γεωμετρικό και αλγεβρικό κομμάτι.
Για το γεωμετρικό:
Θα δείξω ότι αν , τότε το διατρέχει όλο το .
Θεωρώ σημείο και σημείο και σημείο στο εσωτερικό του τμήματος .
Το ορθογώνιο με κορυφές τα και τις προβολές του στους άξονες μπορεί να έχει εμβαδό οποιαδήποτε τιμή στο , καθώς το διατρέχει το εσωτερικό του τμήματος .Άρα, το παίρνει όλες τις τιμές στο .
Ερχόμαστε στο πρόβλημα και το αλγεβρικό κομμάτι:
Είναι .
Από το προηγούμενο συμπέρασμα , η παίρνει όλες τις τιμές στο , ή ισοδύναμα το παίρνει όλες τις τιμές στο .
Δεν είμαι σίγουρος αν είναι αρκετά αυστηρό αυτό το επιχείρημα , ιδίως το γεωμετρικό μέρος. Ωστόσο, το αφήνω σαν ιδέα προσέγγισης.
Δίνω μια προσέγγιση που έχει γεωμετρικό και αλγεβρικό κομμάτι.
Για το γεωμετρικό:
Θα δείξω ότι αν , τότε το διατρέχει όλο το .
Θεωρώ σημείο και σημείο και σημείο στο εσωτερικό του τμήματος .
Το ορθογώνιο με κορυφές τα και τις προβολές του στους άξονες μπορεί να έχει εμβαδό οποιαδήποτε τιμή στο , καθώς το διατρέχει το εσωτερικό του τμήματος .Άρα, το παίρνει όλες τις τιμές στο .
Ερχόμαστε στο πρόβλημα και το αλγεβρικό κομμάτι:
Είναι .
Από το προηγούμενο συμπέρασμα , η παίρνει όλες τις τιμές στο , ή ισοδύναμα το παίρνει όλες τις τιμές στο .
Δεν είμαι σίγουρος αν είναι αρκετά αυστηρό αυτό το επιχείρημα , ιδίως το γεωμετρικό μέρος. Ωστόσο, το αφήνω σαν ιδέα προσέγγισης.
Κώστας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνολο τιμών αθροίσματος
Σωστά, αλλά δεν χρειάζεται να κάνουμε έμμεσο τρόπο, δουλεύοντας με εκθετικά και γινόμενα, αφού μπορούμε με τους αρχικούς αριθμούς και αθροίσματα.
Συγκεκριμένα, με και επιλέγοντας σημεία πάνω στην εξετάζουμε το άθροισμα . Επειδή το είναι της μορφής (άλλωστε τα μπορούμε να τα βρούμε από τα ) παρατηρούμε ότι το μπορεί να πάρει όλες τις τιμές του από την μικρότερη (στο ) έως την μεγαλύτερη (στο ). Στο κάτω κάτω μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση για οποιοδήποτε με . Οι λεπτομέρειες άμεσες.
Υπόψη έχω και δεύτερη μέθοδο με Αναλυτική, εξ ίσου προσιτή.
Συγκεκριμένα, με και επιλέγοντας σημεία πάνω στην εξετάζουμε το άθροισμα . Επειδή το είναι της μορφής (άλλωστε τα μπορούμε να τα βρούμε από τα ) παρατηρούμε ότι το μπορεί να πάρει όλες τις τιμές του από την μικρότερη (στο ) έως την μεγαλύτερη (στο ). Στο κάτω κάτω μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση για οποιοδήποτε με . Οι λεπτομέρειες άμεσες.
Υπόψη έχω και δεύτερη μέθοδο με Αναλυτική, εξ ίσου προσιτή.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες