Ισότητα από δύο ανισότητες

#1

Έστω $a_1,\,a_2,\,...,\,a_8$ γνήσια θετικοί που ικανοποιούν

$\displaystyle{(a_1+a_2+...+a_8)^2=a_1a_2\cdot ...\cdot a_8}$ και $\displaystyle{2(a_1+a_2+...+a_8)=a_1^2+a_2^2+ ...+ a_8^2}$ .

Δείξτε ότι $\displaystyle{a_1+a_2+...+a_8=16}$ .

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

Filippos Athos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 11:25 am
Έστω $a_1,\,a_2,\,...,\,a_8$ γνήσια θετικοί που ικανοποιούν

$\displaystyle{(a_1+a_2+...+a_8)^2=a_1a_2\cdot ...\cdot a_8}$ και $\displaystyle{2(a_1+a_2+...+a_8)=a_1^2+a_2^2+ ...+ a_8^2}$ .

Δείξτε ότι $\displaystyle{a_1+a_2+...+a_8=16}$ .

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

$\displaystyle{(a_1+a_2+...+a_8)^2=a_1a_2\cdot ...\cdot a_8}$ (1)

$\displaystyle{2(a_1+a_2+...+a_8)=a_1^2+a_2^2+ ...+ a_8^2}$ (2)

Εφαρμόζωντας Cauchy-Schwarz

στο

έχουμε

$\displaystyle{2(a_1+a_2+...+a_8)\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+....+a_{8})^{2}}{8}\Rightarrow a_{1}+a_{2}+.......+a_{8}\leq 16$

Δηλαδή από AM-GM

$8\cdot \sqrt[8]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot .....\cdot a_{8}}\leq a_{1}+a_{2}+.......+a_{8}\leq 16$ ή αλλιώς $a_{1}\cdot a_{2}\cdot .....\cdot a_{8}\leq16^{2}$ (3)

Αλλά από

στο

$a_{1}\cdot a_{2}\cdot .....\cdot a_{8}\geq (8\cdot \sqrt[8]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot .....\cdot a_{8}})^{2}=64\cdot \sqrt[4]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot .....\cdot a_{8}}$
Υψώνωντας στην τετάρτη έχουμε $(a_{1}\cdot a_{2}\cdot ......\cdot a_{8})^{3}\geq 64^{4}\Rightarrow a_{1}\cdot a_{2}\cdot ......\cdot a_{8}\geq 16^{2}$ (4)

Από το

και το

ισχύει η ισότητα άρα $a_{1}=a_{2}=.......=a_{8}= 2$ οπότε $a_{1}+a_{2}+.......+a_{8}= 16$

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 11:25 am
Έστω $a_1,\,a_2,\,...,\,a_8$ γνήσια θετικοί που ικανοποιούν

$\displaystyle{(a_1+a_2+...+a_8)^2=a_1a_2\cdot ...\cdot a_8}$ και $\displaystyle{2(a_1+a_2+...+a_8)=a_1^2+a_2^2+ ...+ a_8^2}$ .

Δείξτε ότι $\displaystyle{a_1+a_2+...+a_8=16}$ .

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

Για να δικαιολογείται ο τίτλος μάλλον θα έπρεπε να είναι :

Έστω $a_1,\,a_2,\,...,\,a_8$ γνήσια θετικοί που ικανοποιούν

$\displaystyle{(a_1+a_2+...+a_8)^2 \leq a_1a_2\cdot ...\cdot a_8}$ και $\displaystyle{2(a_1+a_2+...+a_8) \geq a_1^2+a_2^2+ ...+ a_8^2}$ .

Δείξτε ότι $\displaystyle{a_1+a_2+...+a_8=16}$ .

Η απόδειξη παραμένει ίδια.

Ισότητα από δύο ανισότητες

Ισότητα από δύο ανισότητες

Re: Ισότητα από δύο ανισότητες

Re: Ισότητα από δύο ανισότητες

Re: Ισότητα από δύο ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση