Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:36 pm

Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί a,b,c. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geqslant \frac{a+b+c}{2}

Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Ιουν 29, 2020 6:41 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 5:36 pm
Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί a,b,c. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+c} \geqslant \frac{a+b+c}{2}
Φαντάζομαι στον τρίτο όρο ο παρονομαστής είναι \rm b+a
Από Cauchy-Schwarz έχουμε \displaystyle \rm \left (\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{b+a} \right )((b+c)+(c+a)+(b+a)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow
\rm \displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{b+a}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}


Pantelis.N
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Σάβ Απρ 20, 2019 10:00 pm

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pantelis.N » Δευ Ιουν 29, 2020 7:14 pm

Αλλιώς:
Προσθέτουμε a+b+c και στα δύο μέλη
(\frac{a^2}{b+c}+a)+(\frac{b^2}{c+a}+b)+(\frac{c^2}{a+b}+c)\geq \frac{3(a+b+c)}{2}\Leftrightarrow \frac{a(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}\geq \frac{3(a+b+c)}{2}\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}
που ισχύει, καθώς είναι η ανισότητα Nesbitt.

Για την ανισότητα Nesbitt: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Nesbitt%27s_inequality


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες