Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c ώστε a,b,c \geqslant 0. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)



Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Δευ Ιουν 29, 2020 6:54 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c ώστε a,b,c \geqslant 0. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)
Αποσύρω λόγω σφάλματος... :-? :?
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ σε Τρί Ιουν 30, 2020 12:49 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιουν 29, 2020 9:00 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 6:54 pm
Demetres έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c ώστε a,b,c \geqslant 0. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz που αφορά τις τετραγωνικές ρίζες είναι

\sqrt{b(a+c)}{\cdot }\sqrt{c(a+b)}{\cdot }\sqrt{a(b+c)}\leqslant \sqrt{a+b+c}{\cdot }\sqrt{2(a+b+c)}=\sqrt{2}(a+b+c)
Δημήτρη για ξανά κοίταξε αυτά που έχεις γράψει.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 70
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τρί Ιουν 30, 2020 11:29 am

Demetres έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c ώστε a,b,c \geqslant 0. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)

Καλημέρα,

Από Cauchy-Schwarz

[(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)]\cdot(1+1+1)\geq (\sqrt{ab+bc}+\sqrt{bc+ca}+\sqrt{ca+ab})^{2}

Δηλαδή 2\cdot (ab+bc+ca)\cdot 3\geq (\sqrt{ab+bc}+\sqrt{bc+ca}+\sqrt{ca+ab})^{2}\Rightarrow

\sqrt{6\cdot (ab+bc+ca)}\geq \sqrt{ab+bc}+\sqrt{bc+ca}+\sqrt{ca+ab}

Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι \sqrt{2} (a+b+c)\geq \sqrt{6\cdot (ab+bc+ca)}\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3\cdot (ab+bc+ca)
που ισχύει απο γνωστή ανισότητα.(*)


(*) Για περαιτέρω εξήγηση,προκύπτει a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca. Από εδώ υπάρχουν αρκετοί τρόποι να συνεχίσυμε.Εγώ θα δώσω τους βασκούς.
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 73&t=67428


Από Cauchy-Schwarz
(a^{2}+b^{2}+c^{2})\cdot (b^{2}+c^{2}+a^{2})\geq (ab+bc+ca)^{2}


Απο Euler

a^{2}+b^{2}+c^{2}- (ab+bc+ca)=\frac{1}{2}\cdot [(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]\geq 0

Ισότητα όταν a=b=c


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 30, 2020 12:42 pm

Ανέμενα ότι θα δινόταν η πιο κάτω λύση:

\displaystyle  2(a+b+c)^2 = (b+c+a)((a+c)+(b+a)+(c+b)) \geqslant \left(\sqrt{ba+bc} + \sqrt{cb+ca} + \sqrt{ac+ab}\right)^2

Το ζητούμενο τώρα προκύπτει παίρνοντας ριζικά και χρησιμοποιώντας ότι a,b,c \geqslant 0.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιουν 30, 2020 1:28 pm

Demetres έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 12:42 pm
Ανέμενα ότι θα δινόταν η πιο κάτω λύση:

\displaystyle  2(a+b+c)^2 = (b+c+a)((a+c)+(b+a)+(c+b)) \geqslant \left(\sqrt{ba+bc} + \sqrt{cb+ca} + \sqrt{ac+ab}\right)^2

Το ζητούμενο τώρα προκύπτει παίρνοντας ριζικά και χρησιμοποιώντας ότι a,b,c \geqslant 0.
Την έκανε ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Μόνο που στην ανάρτηση του αντί άθροισμα στο πρώτο μέλος πήρε γινόμενο.
Την ανάρτηση που μετά απέσυρε την εχω παραπάνω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης