Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:13 pm

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c. Να δειχθεί ότι a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Ιουν 29, 2020 5:58 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 5:13 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c. Να δειχθεί ότι a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca.
Από Cauchy-Schwarz έχουμε \rm (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\geq (ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq(ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow
\rm \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \left | ab+bc+ac \right |\geq ab+bc+ac

Η ισότητα όταν \rm \dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\Leftrightarrow a=b=c
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Δευ Ιουν 29, 2020 9:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Pantelis.N
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Σάβ Απρ 20, 2019 10:00 pm

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pantelis.N » Δευ Ιουν 29, 2020 6:46 pm

Από Cauchy-Schwarz σε μορφή Andreescu είναι \frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{3}=ab+bc+ca


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης