Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:11 pm

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c. Να δειχθεί ότι 3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2. Γενικεύστε σε n μεταβλητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Ιουν 29, 2020 6:11 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 5:11 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c. Να δειχθεί ότι 3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2. Γενικεύστε σε n μεταβλητές.
Από Cauchy-Schwarz έχουμε \rm (1+1+1)(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2.

Γενίκευση:
Χρησιμοποιώντας την Cauchy-Schwarz έχουμε
\left ( \underset{\rm n\,\,\varphi o\rho \acute{\varepsilon }\varsigma }{\underbrace{1+1+...+1 }}\right )(\rm a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)\geq (a_1+a_2+...+a_n)^2\Leftrightarrow
\Leftrightarrow \boxed{\rm n(\rm a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)\geq (a_1+a_2+...+a_n)^2}.

Η ισότητα ισχύει όταν \rm a_1=a_2=...=a_n


Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Δευ Ιουν 29, 2020 6:28 pm

Ωραία και σχετική είναι και η ανισότητα από τον Αρχιμήδη του 2008 παρακάτω: viewtopic.php?t=23712


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης