Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:08 pm

Έστω πραγματικοί αριθμοί a,b ώστε a^2 + b^2 = 1. Να δειχθεί ότι 3a+4b \leqslant 5. Πότε ισχύει η ισότητα;


Παρακαλώ διαβάστε το μήνυμα στο hide.
Θα ξεκινήσω να βάζω κάποιες απλές και σύντομες ασκήσεις σε διάφορους τομείς των ολυμπιάδων ώστε να μάθουν οι νεαρότεροι φίλοι μας κάποιες βασικές τεχνικές.

Δεν βάζω περιορισμό στο ποιος επιτρέπεται να τις λύσει. Παρακαλώ όμως η πρώτη λύση να γίνεται προσεκτικά μιας και ο χαρακτήρας των ασκήσεων είναι διδακτικός. Επίσης αν υπάρχουν διάφοροι τρόποι να λυθούν, ο πρώτος τρόπος να είναι σχετικός με τον τίτλο της άσκησης.

Αν κάποιος θέλει να συνεχίσει την αρίθμηση του τίτλου σε καινούργια άσκηση αυτό επιτρέπεται. Απλά να θυμάστε ότι πάμε αρχικά με απλές εφαρμογές προτού προχωρήσουμε σε πιο δύσκολες. Επίσης, όταν βάζω κάποιες ασκήσεις θα βάζω διάφορες στη σειρά γι' αυτό περιμένετε λίγο προτού συνεχίσετε με καινούργιες ασκήσεις.



Λέξεις Κλειδιά:
Pantelis.N
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Σάβ Απρ 20, 2019 10:00 pm

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pantelis.N » Δευ Ιουν 29, 2020 6:57 pm

Αν 3a+4b< 0 η ανισότητα είναι προφανής.

Έστω 3a+4b> 0

Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε (3a+4b)^2\leq 25

Από Cauchy-Schwarz παίρνουμε (9+16)(a^2+b^2)\geq (3a+4b)^2

Άρα αρκεί (9+16)(a^2+b^2)\leq 25 που ισχύει εφόσον a^2+b^2=1

Ισότητα για \frac{3}{a}=\frac{4}{b}\Leftrightarrow a=\frac{3b}{4}

Όπου από τη σχέση a^2+b^2=1 προκύπτει b=\frac{4}{5}, άρα a=\frac{3}{5}
τελευταία επεξεργασία από Pantelis.N σε Δευ Ιουν 29, 2020 9:50 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Δευ Ιουν 29, 2020 7:01 pm

5(a^2 + b^2)(9/25 + 16/25)\geq 5(3a/5 +4b/5)= 3a +4b
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Δευ Ιουν 29, 2020 7:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Ιουν 29, 2020 8:55 pm

Pantelis.N έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 6:57 pm
Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε (3a+4b)^2\leq 25

Από Cauchy-Schwarz παίρνουμε (9+16)(a^2+b^2)\geq (3a+4b)^2

Άρα αρκεί (9+16)(a^2+b^2)\leq 25 που ισχύει εφόσον a^2+b^2=1
Η λύση σου έχει πρόβλημα. Βρες το και αν χρειαστείς βοήθεια, εδώ είμαστε.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης