ελάχιστη τιμή παράστασης

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

ελάχιστη τιμή παράστασης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 07, 2020 2:34 pm

Για κάθε n \in \mathbb{N} και x\in \mathbb{R}
ορίζουμε την παράσταση:


\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \left ( \cos^{2k+1} x + \sin^{2k+1} x  \right )}


Αν το n είναι σταθερό να προσδιοριστεί το ελάχιστο της καθώς και οι τιμές του x για τις οποίες αυτό επιτυγχάνεται.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: ελάχιστη τιμή παράστασης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιουν 07, 2020 4:56 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Ιουν 07, 2020 2:34 pm
Για κάθε n \in \mathbb{N} και x\in \mathbb{R}
ορίζουμε την παράσταση:


\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \left ( \cos^{2k+1} x + \sin^{2k+1} x  \right )}


Αν το n είναι σταθερό να προσδιοριστεί το ελάχιστο της καθώς και οι τιμές του x για τις οποίες αυτό επιτυγχάνεται.
Αρχικά θα μελετήσουμε την \rm f(x)=\cos^{2k+1}x+\sin^{2k+1}x,k\in \mathbb{N}.
Μηδενίζεται για \rm \cos x_0=-\sin x_0=\sin(-x_0)\Leftrightarrow \sin(\dfrac{\pi}{2}-x_0)=\sin(-x_0) από όπου \rm \dfrac{\pi}{2}-x_0=-x_0+2l\pi άτοπο ή \rm \dfrac{\pi}{2}-x_0=\pi+x_0+2lk \Leftrightarrow x_0=-\dfrac{\pi}{4}+lp,l \in \mathbb{N}.Επειδή λοιπόν για κάθε \rm k έχουμε ίδιες ρίζες το πρόσημο του \rm \cos^{2k+1}x+\sin^{2k+1}x είναι ίδιο για \rm k=1,2...,n και έτσι αν \rm n άρτιος το ζητούμενο ελάχιστο είναι το 0 για \rm  x=-\dfrac{\pi}{4}+lp,l \in \mathbb{N}.
Έστω ότι \rm n περιττός.Είναι \rm f'(x)=(2k+1) \sin x \cos x(\sin^{2k-1}x-\cos^{2k-1}x).
Η \rm f' έχει ρίζες στο [0,2\pi) τις \rm 0,\pi/4,\pi/2,\pi,5/4\pi,3/2\pi με την βοήθεια των οποίων κατασκευάζουμε τον πίνακα μονοτονίας της \rm f και βλέπουμε πως \rm 1\geq f(x)\geq -1 με το -1 για \rm x=(2l+1)\pi,\dfrac{4l+3}{2}\pi,l \in \mathbb{N}
Έτσι η ελάχιστη τιμή θα είναι το \rm -1 όταν όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι με \rm -1(αναγκαστικά όλοι ομόσημοι όπως δείξαμε παραπάνω) για \rm x=(2l+1)\pi,\dfrac{4l+3}{2}\pi,l \in \mathbb{N}.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ελάχιστη τιμή παράστασης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 07, 2020 5:31 pm

Γειά σου Πρόδρομε.
Είναι απλούστερο .

Εχουμε ότι

-1\leq \cos^{2k+1}x+\sin^{2k+1}x\leq 1

και οι ισότητες πιάνονται.
Αρα αν ο n είναι περιττός το ελάχιστο είναι -1

Επίσης το πρόσημο του

 \cos^{2k+1}x+\sin^{2k+1}x

είναι το ίδιο με το πρόσημο του

 \cos x+\sin x

Ετσι αν ο n είναι άρτιος το ελάχιστο είναι 0

κλπ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης