Τέλεια Τετράγωνα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

SPYRIDON TZORTZIS
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Μαρ 16, 2020 3:13 pm

Τέλεια Τετράγωνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από SPYRIDON TZORTZIS » Τετ Μαρ 25, 2020 4:54 pm

Αν οι αριθμοί x,y\in \mathbb{N^*} ικανοποιούν τη σχέση 2x^2+x=3y^2+y (1), τότε:
α) να αποδείξετε πως οι αριθμοί x-y και 2x+2y+1 είναι τέλεια τετράγωνα
β) να βρείτε όλα τα ζεύγη (x,y) τα οποία ικανοποιούν την (1)



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 29, 2020 3:22 pm

SPYRIDON TZORTZIS έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 4:54 pm
Αν οι αριθμοί x,y\in \mathbb{N^*} ικανοποιούν τη σχέση 2x^2+x=3y^2+y (1), τότε:
α) να αποδείξετε πως οι αριθμοί x-y και 2x+2y+1 είναι τέλεια τετράγωνα
β) να βρείτε όλα τα ζεύγη (x,y) τα οποία ικανοποιούν την (1)
Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Μαρ 29, 2020 5:20 pm

Απαντάω στο ερώτημα 1.

Ας είναι \displaystyle{x-y=a,} οπότε \displaystyle{x=y+a}, η εξίσωση γράφεται, μετά από κατάλληλους μετασχηματισμούς, ως

\displaystyle{a(1+6a)=(y-2a)^2.} Επειδή ισχύει \displaystyle{(1,1+6a)=1} έπεται το ζητούμενο.

Ας είναι τώρα \displaystyle{2x+2y+1=m}, οπότε \displaystyle{x=\frac{m-1-2y}{2}}. Η εξίσωση γράφεται

\displaystyle{m(3m-1)=2(y+m)^2.} Επειδή \displaystyle{(m,3m-1)=1} και φανερά \displaystyle{m} περιττός, είναι ο \displaystyle{m} τέλειο τετράγωνο.


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 29, 2020 7:08 pm

SPYRIDON TZORTZIS έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 4:54 pm
Αν οι αριθμοί x,y\in \mathbb{N^*} ικανοποιούν τη σχέση 2x^2+x=3y^2+y (1), τότε:
α) να αποδείξετε πως οι αριθμοί x-y και 2x+2y+1 είναι τέλεια τετράγωνα
β) να βρείτε όλα τα ζεύγη (x,y) τα οποία ικανοποιούν την (1)
Να δώσω μια διαφορετική απάντηση στο α)
Η 2x^2+x=3y^2+y γράφεται 2x^2+x-2y^2-y=y^{2}
δηλαδή
(x-y)(2x+2y+1)=y^{2}
Αν τώρα είναι d=(x-y,2x+2y+1)
τότε λόγω της προηγούμενης d/y
ετσι και d/x οπότε d/1
Αρα 1=(x-y,2x+2y+1) και έχουμε το ζητούμενο.


SPYRIDON TZORTZIS
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Μαρ 16, 2020 3:13 pm

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από SPYRIDON TZORTZIS » Τρί Μαρ 31, 2020 10:12 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Μαρ 31, 2020 11:25 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 7:08 pm
SPYRIDON TZORTZIS έγραψε:
Τετ Μαρ 25, 2020 4:54 pm
Αν οι αριθμοί x,y\in \mathbb{N^*} ικανοποιούν τη σχέση 2x^2+x=3y^2+y (1), τότε:
α) να αποδείξετε πως οι αριθμοί x-y και 2x+2y+1 είναι τέλεια τετράγωνα
β) να βρείτε όλα τα ζεύγη (x,y) τα οποία ικανοποιούν την (1)
Να δώσω μια διαφορετική απάντηση στο α)
Η 2x^2+x=3y^2+y γράφεται 2x^2+x-2y^2-y=y^{2}
δηλαδή
(x-y)(2x+2y+1)=y^{2} \ \ (1)
Αν τώρα είναι d=(x-y,2x+2y+1)
τότε λόγω της προηγούμενης d/y
ετσι και d/x οπότε d/1
Αρα 1=(x-y,2x+2y+1) και έχουμε το ζητούμενο.
Από το σημείο που την άφησε ο Σταύρος για το δεύτερο ερώτημα:

Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικές ακέραιες λύσεις (δεν είναι απαραίτητο να είναι φυσικοί οι x,y). Λόγω της σχέσης (1) και του ότι οι παράγοντες του γινομένου είναι πρώτοι μεταξύ τους, υπάρχουν ακέραιοι y_1,y_2 ώστε x-y=y_1^2 και 2x+2y+1=y_2^2 όπου y_1y_2=y και (y_1,y_2)=1.

Απαλοίφοντας το x από τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε: 4y+1=y_2^2-2y_1^2 \Leftrightarrow y_2^2-4y_1y_2+4y_1^2-6y_1^2=1 \Leftrightarrow (y_2-2y_1)^2-6y_1^2=1 η οποία είναι της μορφής a^2-6b^2=1 η οποία είναι εξίσωση Pell με βασική λύση (|a_1|,|b_1|)=(5,2) άρα οι λύσεις (a_n, b_n) δίνονται ως γνωστόν από τον τύπο a_n+b_n\sqrt{6}=\pm \left(5+2\sqrt{6}\right)^n άρα με χρήση του διωνύμου του Newton παίρνουμε:

a_n=\pm \displaystyle\sum_{i=0}^{[n/2]}\binom{n}{2i}5^{n-2i}24^{i} και b_n=\pm \displaystyle\sum_{i=0}^{[(n-1)/2]}\binom{n}{2i+1}5^{n-2i-1}{24}^{i}

άρα τελικά οι (άπειρες) λύσεις δίνονται από τους τύπους:

(x,y)=(3b_n^2+a_nb_n,2b_n^2+a_nb_n) για n\in\mathbb{N} (Για παράδειγμα για (a_1,b_1)=(5,2) παίρνουμε τη λύση (x,y)=(22,18)).

Αλέξανδρος

Edit: (01.04.2020 01:06) Ευχαριστώ τον Θανάση Κοντογιώργη και τον Πρόδρομο Φωτιάδη που μου επεσήμαναν την ύπαρξη λάθους το οποίο ήταν παιδαριώδες και διορθώθηκε! Νομίζω τώρα ότι η λύση είναι σωστή!


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 01, 2020 1:05 am

cretanman έγραψε:
Τρί Μαρ 31, 2020 11:25 pm
 y_2^2-4y_1y_2+4-2y_1^2=5 \Leftrightarrow (y_2-2)^2-2y_1^2=5
Προφανως υπάρχει τυπογραφικό που χαλάει τα μετά.
Τέτοια ώρα συμβαίνουν αυτά.
Λύσεις σίγουρα έχει
x=22,y=18


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Απρ 01, 2020 1:09 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Απρ 01, 2020 1:05 am
cretanman έγραψε:
Τρί Μαρ 31, 2020 11:25 pm
 y_2^2-4y_1y_2+4-2y_1^2=5 \Leftrightarrow (y_2-2)^2-2y_1^2=5
Προφανως υπάρχει τυπογραφικό που χαλάει τα μετά.
Τέτοια ώρα συμβαίνουν αυτά.
Λύσεις σίγουρα έχει
x=22,y=18
Σταύρο ευχαριστώ! Ακριβώς αυτό ήταν το παιδαριώδες λάθος στο οποίο αναφέρθηκα στο παραπάνω μήνυμα!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2790
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Απρ 01, 2020 2:13 pm

Πρωταπριλιάτικο και όμως αληθινό!

Αν μάλιστα θέσουμε x_0=0, y_0=0 και x_1=2, y_1=-2 (προφανείς (;) λύσεις) ... τότε όλες οι παραπάνω λύσεις δίνονται από τους αναδρομικούς τύπους

x_{n+2}=10x_{n+1}-x_n+2 και y_{n+2}=-10y_{n+1}-y_n-2

Είναι όντως αυτές όλες οι λύσεις, και πως προκύπτουν; Δεν γνωρίζω και δεν το προσπάθησα, αν δεν το διαλευκάνουν άλλοι θα το ξαναδώ...


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
SPYRIDON TZORTZIS
Δημοσιεύσεις: 12
Εγγραφή: Δευ Μαρ 16, 2020 3:13 pm

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από SPYRIDON TZORTZIS » Τετ Απρ 01, 2020 2:34 pm

Το ίδιο: Δεν γνωρίζω και δεν το προσπάθησα, αν δεν το διαλευκάνουν άλλοι θα το ξαναδώ...


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Τέλεια Τετράγωνα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Απρ 01, 2020 4:44 pm

Ξέχασα να αναφέρω παραπάνω ότι μετά την επισήμανση του λάθους, διόρθωσα τη λύση και νομίζω ότι πλέον είναι σωστή. Οι λύσεις είναι άπειρες αφού η αρχική καταλήγει σε μια εξίσωση Pell. Βρήκα και μια λύση (την (22,18)) για να είμαι σίγουρος ότι οι τύποι αυτοί δίνουν πράγματι τις λύσεις. Απλά αντί για να αφήσω τις λύσεις στη μορφή με ριζικά, εφάρμοσα το διωνυμικο αναπτυγμα για να τις βρω σε κλειστή μορφή!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης