Ανώμαλη μετάβαση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11619
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανώμαλη μετάβαση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 03, 2019 8:50 am

\bigstar Αν για τον θετικό αριθμό x , είναι : x^2+\dfrac{1}{x^2}=23 , βρείτε το : x^5+\dfrac{1}{x^5}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4303
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανώμαλη μετάβαση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μάιος 03, 2019 10:53 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 03, 2019 8:50 am
\bigstar Αν για τον θετικό αριθμό x , είναι : x^2+\dfrac{1}{x^2}=23 , βρείτε το : x^5+\dfrac{1}{x^5}

Έχουμε ότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
x^2+\frac{1}{x^2} = 23 &\Leftrightarrow \left ( x  + \frac{1}{x} \right )^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 23  \\  
 &\Leftrightarrow \left ( x + \frac{1}{x} \right )^2 -2 =23 \\  
 &\Leftrightarrow \left ( x + \frac{1}{x} \right )^2 = 25\\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\overset{x>0}{\Leftarrow \!=\! =\! \Rightarrow }  x + \frac{1}{x} = 5 
\end{aligned}}
Οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
5 = x + \frac{1}{x} &\Leftrightarrow 3125 = \left ( x + \frac{1}{x} \right )^5 \\  
 &\Leftrightarrow 3125 = \left ( x^5 + \frac{1}{x^5} \right ) + 5 \left ( x^3 + \frac{1}{x^3} \right ) + 10 \left ( x + \frac{1}{x} \right ) \\  
 &\Leftrightarrow 3125 = \left ( x^5 + \frac{1}{x^5}  \right ) + 5 \left ( x + \frac{1}{x} \right )^3 - 15 \left ( x + \frac{1}{x} \right ) + 10 \left ( x + \frac{1}{x} \right ) \\  
 &\Leftrightarrow 3125 = \left ( x^5 + \frac{1}{x^5} \right ) + \underbrace{5 \cdot 5^3}_{625} - \underbrace{15 \cdot 5}_{75} + \underbrace{10\cdot 5}_{50}  \\  
 &\Leftrightarrow 3125 = x^5 + \frac{1}{x^5} + 625 -75 +50 \\ 
 &\Leftrightarrow x^5 + \frac{1}{x^5} = 2525  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανώμαλη μετάβαση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μάιος 03, 2019 12:44 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 03, 2019 8:50 am
\bigstar Αν για τον θετικό αριθμό x , είναι : x^2+\dfrac{1}{x^2}=23 , βρείτε το : x^5+\dfrac{1}{x^5}
Αλλιώς ,

x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )^3-3\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )=110


\left ( x^2+\dfrac{1}{x^2} \right )\left (x^3 +\dfrac{1}{x^3} \right )=23\cdot 110\Leftrightarrow x^5+\dfrac{1}{x^5}+5=2530\Leftrightarrow \boxed {x^5+\dfrac{1}{x^5}=2525}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9344
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανώμαλη μετάβαση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 03, 2019 1:27 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Παρ Μάιος 03, 2019 12:44 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 03, 2019 8:50 am
\bigstar Αν για τον θετικό αριθμό x , είναι : x^2+\dfrac{1}{x^2}=23 , βρείτε το : x^5+\dfrac{1}{x^5}
Αλλιώς ,

x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )^3-3\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )=110


\left ( x^2+\dfrac{1}{x^2} \right )\left (x^3 +\dfrac{1}{x^3} \right )=23\cdot 110\Leftrightarrow x^5+\dfrac{1}{x^5}+5=2530\Leftrightarrow \boxed {x^5+\dfrac{1}{x^5}=2525}
:clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης