Ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Μαρ 27, 2019 12:21 am

Δίνονται θετικοί αριθμοί x,y,z τέτοιοι ώστε xyz+xy+yz+zx=4. Να δειχθεί ότι x+y+z\geq 3.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2510
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 27, 2019 9:20 am

achilleas έγραψε:
Τετ Μαρ 27, 2019 12:21 am
Δίνονται θετικοί αριθμοί x,y,z τέτοιοι ώστε xyz+xy+yz+zx=4. Να δειχθεί ότι x+y+z\geq 3.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Θέτουμε A=x+y+z.

Είναι

(\frac{A}{3})^{3}\geq xyz
και
\frac{A^{2}}{3}\geq xy+yz+zx

Ετσι η δεσμευμένη σχέση γίνεται

A^{3}+9A^{2}\geq 4\cdot 27

Αν A<3 τότε A^{3}+9A^{2}<4\cdot27 ΑΤΟΠΟ.

Αρα A\geq 3 οπως θέλουμε.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τετ Μαρ 27, 2019 12:47 pm

Καλημέρα! Μια άλλη προσέγγιση (μέσω μιας γνωστής γενικής μεθόδου).

Η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα:

\displaystyle 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{{xyz}} \Leftrightarrow 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z} = \frac{8}{{xyz}} \displaystyle \bf\color{red} \left( 1 \right).

Θέτουμε

\displaystyle a = \frac{1}{{1 + \dfrac{2}{x}}}, \displaystyle b = \frac{1}{{1 + \dfrac{2}{y}}}, \displaystyle c = \frac{1}{{1 + \dfrac{2}{z}}}.

Τότε, η σχέση \displaystyle \bf\color{red} \left( 1 \right) γράφεται ισοδύναμα

\displaystyle 2 + \frac{1}{a} - 1 + \frac{1}{b} - 1 + \frac{1}{c} - 1 = \left( {\frac{1}{a} - 1} \right)\left( {\frac{1}{b} - 1} \right)\left( {\frac{1}{c} - 1} \right) \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - 1 = \frac{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)}}{{abc}} \Leftrightarrow

\displaystyle  \Leftrightarrow bc + ca + ab - abc = 1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc \Leftrightarrow

\displaystyle  \Leftrightarrow a + b + c = 1.

Έχουμε, λοιπόν, ότι:

\displaystyle \frac{2}{x} = \frac{1}{a} - 1 = \frac{{1 - a}}{a} = \frac{{b + c}}{a} \Leftrightarrow x = \frac{{2a}}{{b + c}}

και όμοια

\displaystyle y = \frac{{2b}}{{c + a}},

\displaystyle z = \frac{{2c}}{{a + b}}.

Συνεπώς, η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα

\displaystyle \frac{{2a}}{{b + c}} + \frac{{2b}}{{c + a}} + \frac{{2c}}{{a + b}} \ge 3 \Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2},

που είναι η γνωστή ανισότητα Nesbitt. Μια απόδειξή της μπορεί να δοθεί με χρήση της ανισότητας Cauchy-Schwarz:

\displaystyle \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = \frac{{{a^2}}}{{ab + ca}} + \frac{{{b^2}}}{{bc + ab}} + \frac{{{c^2}}}{{ca + bc}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}} \ge \frac{3}{2}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης