Τριγωνομετρία Γυμνασίου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

$a_{i}\in \mathbb{R},i=1,2,...,N$

Να δειχθεί ότι για κάθε

$x\in \mathbb{R}$

είναι

$\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq N}\cos (a_{i}-a_{j})x\geq -\frac{N}{2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.
Επειδή έλαβα π.μ για να μην υπάρχουν παρεξηγήσεις η σχέση πιο αναλυτικά είναι

$\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq N}\cos( (a_{i}-a_{j})x)\geq -\frac{N}{2}$

Επίσης ο τίτλος αναφέρεται στο Γυμνάσιο του 1975.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

τελευταία επαναφορά.

#4

Θέτουμε

για ευκολία.

Τότε $\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq N}\cos (b_i-b_j)=\sum_{1\leq i<j\leq N}\left(\cos(b_i)\cos(b_j)+\sin(b_i)\sin(b_j) \right).$

Μαζεύοντας τα τετράγωνα έχουμε:
$\begin{aligned}\displaystyle 2\sum_{1\leq i<j\leq N}\left(\cos(b_i)\cos(b_j)+\sin(a_i)\sin(a_j) \right)&=\left(\sum_{i=1}^N\cos(b_i)\right)^2-\sum_{i=1}^n\cos^2(b_i)+\\ &+\left(\sum_{i=1}^N\sin(b_i)\right)^2-\sum_{i=1}^n\sin^2(b_i)\geq -N\end{aligned}$

όπου στο τέλος χρησιμοποιήσαμε ότι για κάθε

έχουμε $\sin^2(a_i)+\cos^2(a_i)=1$ .

Y.Γ. Έγινε μικρή διόρθωση, ευχαριστώ τον Σταύρο.

Τριγωνομετρία Γυμνασίου

Τριγωνομετρία Γυμνασίου

Re: Τριγωνομετρία Γυμνασίου

Re: Τριγωνομετρία Γυμνασίου

Re: Τριγωνομετρία Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση