Τριγωνομετρία Γυμνασίου

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Τριγωνομετρία Γυμνασίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 17, 2019 12:00 am

Εστω

a_{i}\in \mathbb{R},i=1,2,...,N

Να δειχθεί ότι για κάθε

x\in \mathbb{R}

είναι

\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq N}\cos (a_{i}-a_{j})x\geq -\frac{N}{2}



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρία Γυμνασίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 19, 2019 12:47 pm

Επαναφορά.
Επειδή έλαβα π.μ για να μην υπάρχουν παρεξηγήσεις η σχέση πιο αναλυτικά είναι

\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq N}\cos( (a_{i}-a_{j})x)\geq -\frac{N}{2}

Επίσης ο τίτλος αναφέρεται στο Γυμνάσιο του 1975.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρία Γυμνασίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 13, 2019 12:30 pm

τελευταία επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1283
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Τριγωνομετρία Γυμνασίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Μαρ 13, 2019 6:38 pm

Θέτουμε b_i=xa_i για ευκολία.

Τότε \displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq N}\cos (b_i-b_j)=\sum_{1\leq i<j\leq N}\left(\cos(b_i)\cos(b_j)+\sin(b_i)\sin(b_j) \right).

Μαζεύοντας τα τετράγωνα έχουμε:
\begin{aligned}\displaystyle 2\sum_{1\leq i<j\leq N}\left(\cos(b_i)\cos(b_j)+\sin(a_i)\sin(a_j) \right)&=\left(\sum_{i=1}^N\cos(b_i)\right)^2-\sum_{i=1}^n\cos^2(b_i)+\\ 
&+\left(\sum_{i=1}^N\sin(b_i)\right)^2-\sum_{i=1}^n\sin^2(b_i)\geq -N\end{aligned}

όπου στο τέλος χρησιμοποιήσαμε ότι για κάθε i έχουμε \sin^2(a_i)+\cos^2(a_i)=1.

Y.Γ. Έγινε μικρή διόρθωση, ευχαριστώ τον Σταύρο.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης