Mε τον κατάλληλο τρόπο γίνεται απλή

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Mε τον κατάλληλο τρόπο γίνεται απλή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Φεβ 03, 2019 9:05 am

Αν a,b,c θετικοί με b+c>1 να δείξεται ότι

\frac{(a+b+1)^{3}}{b+a+2c-1}+\frac{(b+c-1)^{3}}{c+b+2a+1}+\frac{(a+c)^{3}}{a+c+2b}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)^{2}

Η ισότητα πότε ισχύει;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Mε τον κατάλληλο τρόπο γίνεται απλή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Φεβ 03, 2019 10:06 am

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Φεβ 03, 2019 9:05 am
Αν a,b,c θετικοί με b+c>1 να δείξεται ότι

\frac{(a+b+1)^{3}}{b+a+2c-1}+\frac{(b+c-1)^{3}}{c+b+2a+1}+\frac{(a+c)^{3}}{a+c+2b}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)^{2}

Η ισότητα πότε ισχύει;
Ισχύει η εξής γνωστή Ανισότητα:

Αν k,\ell,m,x,y,z>0, τότε ισχύει \dfrac{k^3}{x}+\dfrac{\ell^3}{y}+\dfrac{m^3}{z} \geqslant \dfrac{(k+\ell+m)^3}{3(x+y+z)}.

Η απόδειξη γίνεται εύκολα με την Ανισότητα Hölder (Πράγματι, με χρήση αυτής προκύπτει (\dfrac{k^3}{x}+\dfrac{\ell^3}{y}+\dfrac{m^3}{z})(x+y+z)(1+1+1) \geqslant (k+\ell+m)^3 ).

Τώρα, στην άσκηση, από την προηγούμενη ανισότητα προκύπτει \displaystyle \frac{(a+b+1)^{3}}{b+a+2c-1}+\frac{(b+c-1)^{3}}{c+b+2a+1}+\frac{(a+c)^{3}}{a+c+2b} \geqslant \dfrac{\displaystyle 8(\sum a)^3}{12\displaystyle \sum a}=\dfrac{2 \displaystyle (\sum a)^2}{3}, και το ζητούμενο έπεται.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης