Ανίσωση με θετικούς

Xriiiiistos · #1

Αν

είναι θετικοί αν αποδείξετε $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)$

Πηγή Αops

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:28 pm
Αν είναι θετικοί αν αποδείξετε $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)$

Πηγή Αops

Είναι $4b^{2}-4c+c^{2}\geq 4b^{2}-4bc+c^{2}=\left ( 2b-c \right )^{2}\geq 0\Leftrightarrow 4b^{2}-4c+c^{2}=5b^{2}+5c^{2}-b^{2}-4c-4c^{2}=b^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}+4c+4c^{2}}{5}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\left [ \frac{\sqrt{5}}{5}(b+2c)-a \right ]^{2}-\frac{b^{2}+4c+4c^{2}}{5}-a^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+..\left [ \frac{\sqrt{5}}{5}(b+2c)-a \right ]^{2}-\left [ \frac{\sqrt{5}\left ( b+2c \right )}{5} \right ]^{2}-a^{2}\geq 0$
Έστω $\frac{\sqrt{5}}{5}\left ( b+2c \right )=x$ αντικαθιστώντας έχουμε : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\left [ \frac{\sqrt{5}}{5}(b+2c)-a \right ]^{2}-\left [ \frac{\sqrt{5}\left ( b+2c \right )}{5} \right ]^{2}-a^{2}\geq 0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+(x-a)^{2}-x^{2}-a^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-x^{2}-a^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ax\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-2a\frac{\sqrt{5}(b+2c)}{5}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2a\frac{\sqrt{5}(b+2c)}{5}$

*Aυτή η λύση είναι λάνθασμένη(έχει λάθος στην πρώτη ισοδυναμία).

#3

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:28 pm
Αν είναι θετικοί αν αποδείξετε $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)$

Από $x^2+y^2\ge 2xy$ έχουμε

$\displaystyle{a^{2}+b^{2}+c^{2} = \left ( \frac {1}{5} a^2+b^2 \right ) + \left ( \frac {4}{5} a^2+c^2 \right ) \geq 2\sqrt {\frac {1}{5} a^2b^2 } + 2\sqrt {\frac {4}{5} a^2c^2 }= 2 \frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)}$

Xriiiiistos · #4

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 6:01 pm
Είναι $4b^{2}-4c+c^{2}\geq 4b^{2}-4bc+c^{2}=...$

Αυτό είναι λάθος γιατί αν $0\leq b< 1$ το αριστερό μέλος θα είναι μικρότερο από το δεξί

Al.Koutsouridis · #5

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:28 pm
Αν είναι θετικοί αν αποδείξετε $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)$
Πηγή Αops

Η ανισότητα ισοδύναμα γράφεται

$\displaystyle a^2 -2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c) +b^2+c^2 \geq 0$

Θεωρούμε την παράσταση ως δευτεροβάθμιο τριώνυμο ως προς

. Αρκεί να δείξουμε ότι η διακρίνουσά του

είναι μη θετική. Πράγματι

$\displaystyle D = \left [ 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c) \right ]^2-4 \left ( b^2+c^2 \right ) =$

$\displaystyle = \frac{4}{5} \left ( b+2c \right ) -4b^2-4c^2 =$

$\displaystyle = \frac{\left ( b^2+4bc+4c^2 \right )-20b^2-20c^2}{5} =$

$\displaystyle = \frac{-\left ( 16b^2-16bc+4c^2 \right )}{5} =$

$\displaystyle = \frac{-\left ( 4b-2c \right )^2}{5} \leq 0$

Με την ισότητα όταν $c=2b, a=\sqrt{5}b$ ή $a:c:b =\sqrt{5} : 2 :1$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 26, 2018 2:51 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 6:01 pm
Είναι $4b^{2}-4c+c^{2}\geq 4b^{2}-4bc+c^{2}=...$
Αυτό είναι λάθος γιατί αν $0\leq b< 1$ το αριστερό μέλος θα είναι μικρότερο από το δεξί

Έχεις δίκιο, είχα στο μυαλό μου ότι $a,b,c\in \mathbb{\mathbb{N^{*}}}$ .

( $0\leq b< 1$ μάλλον εννοούσες 0< b< 1

αφού ο b είναι θετικός)

Al.Koutsouridis · #7

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:28 pm
Αν είναι θετικοί αν αποδείξετε $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)$

Παρατηρούμε ότι η δεδομένη ανισοτική έκφραση είναι ομογενές πολυώνυμο δευτέρου βαθμού (κάθε μονώνυμο που την αποτελεί είναι δευτέρου βαθμού).

Οπότε διαιρούμε την παραπάνω σχέση με a^2

(κάποιο μονώνυμο δευτέρου βαθμού) με την ελπίδα ότι θα προκύψη πιο απλή έκφραση με λιγότερες μεταβλητές. Έχουμε ισοδύναμα

$\displaystyle 1+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2} -2\frac{\sqrt{5}}{5}\left ( \frac{b}{a}+\frac{2c}{a} \right ) \geq 0$

Θέτοντας $\displaystyle x=\frac{b}{a}$ , $\displaystyle y=\frac{c}{a}$ η ανισότητα γίνεται

$\displaystyle 1+x^2+y^2-2\frac{\sqrt{5}}{5}\left ( x+2y \right ) \geq 0$

$\displaystyle x^2 -2\frac{\sqrt{5}}{5}x + y^2 -2\frac{2\sqrt{5}}{5} y+ \frac{5}{25} +\frac{20}{25} \geq 0$

$\displaystyle \left (x^2 -2\frac{\sqrt{5}}{5}x +\frac{5}{25} \right )+\left ( y^2 -2\frac{2\sqrt{5}}{5} y+\frac{20}{25}\right ) \geq 0$

$\displaystyle \left (x -\frac{\sqrt{5}}{5} \right )^2+\left ( y -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right )^2 \geq 0$

Που ισχύει, άρα και η αρχική.

Ανίσωση με θετικούς

Ανίσωση με θετικούς

Re: Ανίσωση με θετικούς

Re: Ανίσωση με θετικούς

Re: Ανίσωση με θετικούς

Re: Ανίσωση με θετικούς

Re: Ανίσωση με θετικούς

Re: Ανίσωση με θετικούς

Μέλη σε σύνδεση