Ανίσωση με θετικούς

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Ανίσωση με θετικούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:28 pm

Αν a,b,c είναι θετικοί αν αποδείξετε a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)





Πηγή Αops



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 780
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανίσωση με θετικούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Νοέμ 25, 2018 6:01 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:28 pm
Αν a,b,c είναι θετικοί αν αποδείξετε a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)





Πηγή Αops
Είναι 4b^{2}-4c+c^{2}\geq 4b^{2}-4bc+c^{2}=\left ( 2b-c \right )^{2}\geq 0\Leftrightarrow 4b^{2}-4c+c^{2}=5b^{2}+5c^{2}-b^{2}-4c-4c^{2}=b^{2}+c^{2}-\frac{b^{2}+4c+4c^{2}}{5}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\left [ \frac{\sqrt{5}}{5}(b+2c)-a \right ]^{2}-\frac{b^{2}+4c+4c^{2}}{5}-a^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+..\left [ \frac{\sqrt{5}}{5}(b+2c)-a \right ]^{2}-\left [ \frac{\sqrt{5}\left ( b+2c \right )}{5} \right ]^{2}-a^{2}\geq 0
Έστω \frac{\sqrt{5}}{5}\left ( b+2c \right )=x αντικαθιστώντας έχουμε :a^{2}+b^{2}+c^{2}+\left [ \frac{\sqrt{5}}{5}(b+2c)-a \right ]^{2}-\left [ \frac{\sqrt{5}\left ( b+2c \right )}{5} \right ]^{2}-a^{2}\geq 0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+(x-a)^{2}-x^{2}-a^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-x^{2}-a^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ax\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-2a\frac{\sqrt{5}(b+2c)}{5}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2a\frac{\sqrt{5}(b+2c)}{5}

*Aυτή η λύση είναι λάνθασμένη(έχει λάθος στην πρώτη ισοδυναμία).
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Δεκ 28, 2018 4:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανίσωση με θετικούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 25, 2018 6:02 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:28 pm
Αν a,b,c είναι θετικοί αν αποδείξετε a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)
Από x^2+y^2\ge 2xy έχουμε

\displaystyle{a^{2}+b^{2}+c^{2}  = \left (  \frac {1}{5} a^2+b^2 \right )  +  \left ( \frac {4}{5} a^2+c^2 \right )    \geq 2\sqrt {\frac {1}{5} a^2b^2 } + 2\sqrt {\frac {4}{5} a^2c^2 }=     2  \frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)}


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Ανίσωση με θετικούς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Νοέμ 26, 2018 2:51 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 6:01 pm
Είναι 4b^{2}-4c+c^{2}\geq 4b^{2}-4bc+c^{2}=...
Αυτό είναι λάθος γιατί αν 0\leq b< 1 το αριστερό μέλος θα είναι μικρότερο από το δεξί


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1217
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανίσωση με θετικούς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Νοέμ 26, 2018 4:07 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:28 pm
Αν a,b,c είναι θετικοί αν αποδείξετε a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)
Πηγή Αops
Η ανισότητα ισοδύναμα γράφεται

\displaystyle a^2 -2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c) +b^2+c^2 \geq 0

Θεωρούμε την παράσταση ως δευτεροβάθμιο τριώνυμο ως προς a. Αρκεί να δείξουμε ότι η διακρίνουσά του D είναι μη θετική. Πράγματι

\displaystyle D = \left [ 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c) \right ]^2-4 \left ( b^2+c^2 \right ) =

\displaystyle = \frac{4}{5} \left ( b+2c \right ) -4b^2-4c^2 =

\displaystyle = \frac{\left ( b^2+4bc+4c^2 \right )-20b^2-20c^2}{5} =

\displaystyle = \frac{-\left ( 16b^2-16bc+4c^2 \right )}{5} =

\displaystyle = \frac{-\left ( 4b-2c \right )^2}{5} \leq 0

Με την ισότητα όταν c=2b, a=\sqrt{5}b ή a:c:b =\sqrt{5} : 2 :1.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Δευ Νοέμ 26, 2018 4:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 780
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανίσωση με θετικούς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Νοέμ 26, 2018 4:46 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Δευ Νοέμ 26, 2018 2:51 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 6:01 pm
Είναι 4b^{2}-4c+c^{2}\geq 4b^{2}-4bc+c^{2}=...
Αυτό είναι λάθος γιατί αν 0\leq b< 1 το αριστερό μέλος θα είναι μικρότερο από το δεξί
Έχεις δίκιο, είχα στο μυαλό μου ότι a,b,c\in \mathbb{\mathbb{N^{*}}}.




(0\leq b< 1 μάλλον εννοούσες 0< b< 1 αφού ο b είναι θετικός)


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1217
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανίσωση με θετικούς

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Νοέμ 26, 2018 9:33 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 3:28 pm
Αν a,b,c είναι θετικοί αν αποδείξετε a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2\frac{\sqrt{5}}{5}a(b+2c)
Παρατηρούμε ότι η δεδομένη ανισοτική έκφραση είναι ομογενές πολυώνυμο δευτέρου βαθμού (κάθε μονώνυμο που την αποτελεί είναι δευτέρου βαθμού).

Οπότε διαιρούμε την παραπάνω σχέση με a^2 (κάποιο μονώνυμο δευτέρου βαθμού) με την ελπίδα ότι θα προκύψη πιο απλή έκφραση με λιγότερες μεταβλητές. Έχουμε ισοδύναμα

\displaystyle 1+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2} -2\frac{\sqrt{5}}{5}\left ( \frac{b}{a}+\frac{2c}{a} \right ) \geq 0

Θέτοντας \displaystyle x=\frac{b}{a}, \displaystyle y=\frac{c}{a} η ανισότητα γίνεται

\displaystyle 1+x^2+y^2-2\frac{\sqrt{5}}{5}\left ( x+2y \right ) \geq 0

\displaystyle x^2 -2\frac{\sqrt{5}}{5}x + y^2 -2\frac{2\sqrt{5}}{5} y+ \frac{5}{25} +\frac{20}{25} \geq 0

\displaystyle  \left (x^2 -2\frac{\sqrt{5}}{5}x +\frac{5}{25} \right )+\left ( y^2 -2\frac{2\sqrt{5}}{5} y+\frac{20}{25}\right ) \geq 0

\displaystyle  \left (x -\frac{\sqrt{5}}{5} \right )^2+\left ( y -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right )^2 \geq 0

Που ισχύει, άρα και η αρχική.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης