Εξίσωση με max 2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή αυτό.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 77&t=62801

Να λυθεί στο $\mathbb{R}$

η εξίσωση

$4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})=1$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 16, 2018 12:44 pm
Να λυθεί στο $\mathbb{R}$

η εξίσωση

$4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})=1$

Καλό.

Να την δυσκολέψουμε:

Δείξτε ότι στους θετικούς είναι

$\displaystyle{4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})\ge 8}$ .

Πότε έχουμε ισότητα;

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 16, 2018 6:48 pm
Καλό.

Να την δυσκολέψουμε:

Δείξτε ότι στους θετικούς είναι

$\displaystyle{4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})\ge 8}$ .

Πότε έχουμε ισότητα;

Χωρίζουμε το $\mathbb{R}_{>0}$ στα διαστήματα $(0,\tfrac{1}{16}],[\tfrac{1}{16},\tfrac{1}{8}],[\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}],[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}],[\tfrac{1}{2},\infty)$ .

Σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα η παράσταση είναι της μορφής Cx^r

για κάποιες σταθερές C,r

οπότε ελαχιστοποιείται σε ένα από τα δύο άκρα. Τα όρια στο

και στο $+\infty$ είναι $+\infty$ . Οι τιμές της παράστασης στα $\tfrac{1}{16},\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}$ είναι 16,8,16,128

αντίστοιχα. (Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος.)

Οπότε το ελάχιστο της παράστασης είναι το

το οποίο λαμβάνεται μόνο για x=1/8

. (Δεν ελαχιστοποιείται ενδιάμεσα κάποιου διαστήματος διότι τότε θα έπρεπε να ήταν σταθερή και ίση με

σε αυτό το διάστημα. Κάτι που δεν συμβαίνει αφού τουλάχιστον στο ένα άκρο δεν είναι ίση με

.)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Η δική μου λύση είναι η εξής:

Θέτουμε
$f(x)=4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})$ x>0

Είναι
$f(x)\geq 4x.\frac{1}{2x}.\frac{1}{4x}.8x.16x=64x$ (1)
και
$f(x)\geq 4x.\frac{1}{2x}.\frac{1}{4x}.\frac{1}{8x}.16x=\frac{1}{x}$ (2)

Από (1) και (2) προκύπτει ότι
$f(x)\geq max(64x,\frac{1}{x})$

Από την τελευταία προκύπτει ότι $f(x)\geq 8$
(παίρνουμε τις περιπτώσεις $x\geq \frac{1}{8},x\leq \frac{1}{8}$ )

Ευκολα βλέπουμε ότι $f(\frac{1}{8})=8$

και $f(x)> 8,x\neq \frac{1}{8}$

#5

Στο ίδιο μήκος κύματος αλλά λίγο πιο απλά: Επειδή ο ένας από τους $8x, \frac {1}{8x}$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος της μονάδας ακριβώς όταν ο άλλος είναι μικρότερος ή ίσος της μονάδας, έχουμε $\max(8x,\frac{1}{8x}) \ge 1$ . Άρα

$4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x}) \ge 4x\cdot \frac{1}{2x} \cdot \frac{1}{4x}\cdot 1 \cdot 16x =8$

Εξίσωση με max 2

Εξίσωση με max 2

Re: Εξίσωση με max 2

Re: Εξίσωση με max 2

Re: Εξίσωση με max 2

Re: Εξίσωση με max 2

Μέλη σε σύνδεση