Ανισότητα με δύο θετικούς!

#1

Αν $\displaystyle{x,y>0}$ και $\displaystyle{x+y\leq 1,}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\left(1-\frac{1}{x^3}\right)\left(1-\frac{1}{y^3}\right)\geq 49.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Λίγο διαφορετικά.

Κάνοντας πράξεις η ανισότητα γράφεται

$1\geq x^{3}+y^{3}+48x^{3}y^{3}$

Το δεξιό μέλος είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς x,y

.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x+y=1

Τότε είναι $1=(x+y)^{3}=x^{3}+y^{3}+3xy$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

$3xy\geq 48x^{3}y^{3}\Leftrightarrow \frac{1}{16}\geq (xy)^{2}$

Η τελευταία ισχύει γιατί

$xy\leq (\frac{x+y}{2})^{2}\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

ksofsa · #3

Και αλλιώς:

Αρκεί ν.δ.ό.

$x^3y^3(1-\frac{1}{x^3})(1-\frac{1}{y^3})\geq 49x^3y^3\Leftrightarrow (x^3-1)(y^3-1)\geq 49x^3y^3\Leftrightarrow (1-x^3)(1-y^3)\geq 49x^3y^3$

Ομως

$1-x^3\geq (x+y)^3-x^3=y^3+3x^2y+3xy^2=y^3+x^2y+x^2y+x^2y+xy^2+xy^2+xy^2\geq 7\sqrt[7]{y^{12}x^9}$ (1)

και όμοια

$1-y^3\geq 7\sqrt[7]{x^{12}y^9}$ (2)

Πολλαπλασιάζοντας τις (1), (2) παίρνω τη ζητούμενη.

Χρησιμοποιήθηκε η ανισότητα αριθμητικού -γεωμετρικου μεσου για 7 όρους.

Altrian · #4

Αρχικά θα δείξουμε ότι η ζητούμενη ανίσωση ισχύει στην περίπτωση όπου x+y=1

. Τότε

και $y^3=\left(1-x\right)^3=1+3x^2-3x-x^3.$
Αρα πρεπει να δείξουμε ότι:

$\large \frac{\left(x^3-1\right)}{x^3 }\frac{\left(-x^3+3x^2-3x\right)}{\left(1-x\right )^3 }\geq 49$ .
Μετά από πράξεις καταλήγουμε στην ισοδύναμη
$\large 16x^4-32x^3+16x^2\leq 1$ δηλ.
$\large \large 16x^2\left(x-1\right) ^2 \large \leq 1$ . Αρα $\large 4x\left | x-1 \right |\leq 1, \rightarrow 4x\left(1-x\right)$ $\large \leq 1$
$\large 4x^2-4x+1\geq0$
που ισχύει.

Εφόσον η ζητούμενη ανισότητα ισχύει για $\large \large x+y=1$ τότε αν ένα ή και τα δύο από τα $\large x,y$ είναι μικρότερα δηλ. $\large x+y< 1$
τότε μία ή και οι δύο παρενθέσεις αντίστοιχα $\large \left(1-\frac{1}{x^3}\right), \left(1-\frac{1}{y^3}\right)$
θα είναι μεγαλύτερες (σε σχέση με τις αντίστοιχες της ισότητας) και άρα το γινόμενο $\large > 49$ . και αποδείχθηκε το ζητούμενο.
Η ισότητα της ζητούμενης ανισότητας ισχύει όταν $\large x=y = \frac{1}{2}$

ksofsa · #5

Ακόμα μία λύση:

Αρκεί ν.δ.ό.

$(1-x^3)(1-y^3)\geq 49x^3y^3$

Ομως

$(1-x^3)(1-y^3)\geq ((x+y)^3-x^3)((x+y)^3-y^3)=(x^3+3x^2y+3xy^2)(y^3+3xy^2+3x^2y)\geq (\sqrt{x^3y^3}+3\sqrt{x^3y^3}+3\sqrt{x^3y^3})^2=49x^3y^3$ .ό.έ.δ.

Χρησιμοποιήθηκε η ανισότητα Cauchy-Schwartz.

#6

Πρώτα απ' όλα $1\ge x+y\ge 2\sqrt {xy}$ , οπότε $\displaystyle{\frac {1}{4xy} \ge 1}$ . Επίσης, το αριστερό μέλος της αποδεικτέας ισούται

$\displaystyle{\frac{1-x^3}{x^3}\frac{1-y^3}{y^3} = \frac{(1-x)(1+x+x^2)}{x^3}\frac{(1-y)(1+y+y^2)}{y^3} \ge \frac{y(1+x+x^2)}{x^3}\frac{x(1+y+y^2)}{y^3}=$

$\displaystyle{= \frac{(1+x+x^2)(1+y+y^2)}{x^2y^2}$

Όμως $\displaystyle{1+x+x^2 =\frac {1}{4}+ \frac {1}{4} + \frac {1}{4} +\frac {1}{4} +\frac {x}{2}+ \frac {x}{2} + x^2 \ge 7 \sqrt [7]{\frac {x^4}{2^{10} }}$ και όμοια για το

.

Οπότε το δεξί μέλος της παραπάνω είναι $\displaystyle{\ge 49 \sqrt [7] { \frac {x^4y^4}{2 ^{20} x^{14} y^{14} } }= 49 \sqrt [7] { \frac {1}{ (4 xy)^{10} } } \ge 49 \sqrt [7]{1^{10}}=49$

Ανισότητα με δύο θετικούς!

Ανισότητα με δύο θετικούς!

Re: Ανισότητα με δύο θετικούς!

Re: Ανισότητα με δύο θετικούς!

Re: Ανισότητα με δύο θετικούς!

Re: Ανισότητα με δύο θετικούς!

Re: Ανισότητα με δύο θετικούς!

Μέλη σε σύνδεση