Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Εστω
Να δειχθεί ότι
Πότε ισχύει η ισότητα;
Ας την αφήσουμε για μαθητές μέχρι να φάμε το αρνί.
Να δειχθεί ότι
Πότε ισχύει η ισότητα;
Ας την αφήσουμε για μαθητές μέχρι να φάμε το αρνί.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Καλημέρα κύριε Σταύρο!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 11:46 amΕστω
Να δειχθεί ότι
Πότε ισχύει η ισότητα;
Ας την αφήσουμε για μαθητές μέχρι να φάμε το αρνί.
Έστω . Τότε, .
Έτσι, η ανισότητα γράφεται .
Είναι , από την Cauchy-Schwarz.
Αρκεί λοιπόν .
Έστω . Τότε, αρκεί (ξαναεφαρμόστηκε η Cauchy-Schwarz).
Η παραπάνω γράφεται , που ισχύει.
Η ισότητα ισχύει όταν ισχύει η ισότητα σε όλες τις παραπάνω ανισότητες, δηλαδή , και .
Από τα παραπάνω, παίρνουμε ότι η ισότητα ισχύει για .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Καλημέρα Ορέστη.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 12:33 pmΚαλημέρα κύριε Σταύρο!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 11:46 amΕστω
Να δειχθεί ότι
Πότε ισχύει η ισότητα;
Ας την αφήσουμε για μαθητές μέχρι να φάμε το αρνί.
Έστω . Τότε, .
Έτσι, η ανισότητα γράφεται .
Είναι , από την Cauchy-Schwarz.
Αρκεί λοιπόν .
Έστω . Τότε, αρκεί (ξαναεφαρμόστηκε η Cauchy-Schwarz).
Η παραπάνω γράφεται , που ισχύει.
Η ισότητα ισχύει όταν ισχύει η ισότητα σε όλες τις παραπάνω ανισότητες, δηλαδή , και .
Από τα παραπάνω, παίρνουμε ότι η ισότητα ισχύει για .
Θα γράψω μια λύση που χρησιμοποιεί μόνο θεωρία τριωνύμου.
Δηλαδή αν
τότε
Θέτουμε
Εχουμε
οπου στην αρχή το θεωρούμε σαν τριώνυμο του και μετά σαν τριώνυμο
Να σημειώσω ότι μου προέκυψε από άλλο πρόβλημα η γενικότερη
και η πρώτη απόδειξη που έδωσα ήταν με Λογισμό πολλών μεταβλητών.
Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Πάνω κάτω όπως ο Ορέστης:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 1:21 pm[
Να σημειώσω ότι μου προέκυψε από άλλο πρόβλημα η γενικότερη
και η πρώτη απόδειξη που έδωσα ήταν με Λογισμό πολλών μεταβλητών.
Από C-S έχουμε:
Ξανά όμως από C-S
Αφού το δεξί μέλος είναι ίσο με 1 έχουμε το ζητούμενο.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Σιλουανέ εγώ θα έλεγα ότι και οι τρείς λύσεις βασίστηκαν στην κυρτότητα.silouan έγραψε: ↑Σάβ Απρ 07, 2018 7:22 pmΠάνω κάτω όπως ο Ορέστης:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 1:21 pm[
Να σημειώσω ότι μου προέκυψε από άλλο πρόβλημα η γενικότερη
και η πρώτη απόδειξη που έδωσα ήταν με Λογισμό πολλών μεταβλητών.
Από C-S έχουμε:
Ξανά όμως από C-S
Αφού το δεξί μέλος είναι ίσο με 1 έχουμε το ζητούμενο.
Απόλυτα φυσιολογικό αφού η συνάρτηση είναι κυρτή ως προς κάθε μεταβλητή ξεχωριστά.
Απλά εσύ και ο Ορέστης ονομάσατε την Jensen C-S που εδώ ταυτίζονται.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Ας παρατηρήσουμε ότι είναι άμεση συνέπεια της Cauchy-Schwarz:
Κατά τα γνωστά, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν ισχύει
Λύνοντας το σύστημα αυτό, βρίσκουμε
Κατά τα γνωστά, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν ισχύει
Λύνοντας το σύστημα αυτό, βρίσκουμε
Μάγκος Θάνος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Απλά και μόνο για το Χριστός Ανέστη και σίγουρα για λόγους πλουραλισμού για τους μικρούς σε ηλικία συναδέλφους, όπως ο Ορέστης, αλλά και γενικώτερα, ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 11:46 amΕστω Να δειχθεί ότι . Πότε ισχύει η ισότητα;
Αρκεί, μετά την απαλοιφή του , να αποδειχθεί ότι: αρκεί , αρκεί αρκεί που ισχύει, με την ισότητα εδώ να είναι αληθής όταν
Η ισότητα στην , ισχύει όταν έχουμε το σύστημα: και που οδηγεί στην λύση
Χρησιμοποιήθηκε η ανισότητα όταν Αυτή ως γνωστόν ισχύει ως ισότητα όταν .
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες