
Να δειχθεί ότι

Πότε ισχύει η ισότητα;
Ας την αφήσουμε για μαθητές μέχρι να φάμε το αρνί.
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Καλημέρα κύριε Σταύρο!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 11:46 amΕστω
Να δειχθεί ότι
Πότε ισχύει η ισότητα;
Ας την αφήσουμε για μαθητές μέχρι να φάμε το αρνί.
Καλημέρα Ορέστη.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 12:33 pmΚαλημέρα κύριε Σταύρο!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 11:46 amΕστω
Να δειχθεί ότι
Πότε ισχύει η ισότητα;
Ας την αφήσουμε για μαθητές μέχρι να φάμε το αρνί.
Έστω. Τότε,
.
Έτσι, η ανισότητα γράφεται.
Είναι, από την Cauchy-Schwarz.
Αρκεί λοιπόν.
Έστω. Τότε, αρκεί
(ξαναεφαρμόστηκε η Cauchy-Schwarz).
Η παραπάνω γράφεται, που ισχύει.
Η ισότητα ισχύει όταν ισχύει η ισότητα σε όλες τις παραπάνω ανισότητες, δηλαδή,
και
.
Από τα παραπάνω, παίρνουμε ότι η ισότητα ισχύει για.
Πάνω κάτω όπως ο Ορέστης:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 1:21 pm[
Να σημειώσω ότι μου προέκυψε από άλλο πρόβλημα η γενικότερη
και η πρώτη απόδειξη που έδωσα ήταν με Λογισμό πολλών μεταβλητών.
Σιλουανέ εγώ θα έλεγα ότι και οι τρείς λύσεις βασίστηκαν στην κυρτότητα.silouan έγραψε: ↑Σάβ Απρ 07, 2018 7:22 pmΠάνω κάτω όπως ο Ορέστης:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 1:21 pm[
Να σημειώσω ότι μου προέκυψε από άλλο πρόβλημα η γενικότερη
και η πρώτη απόδειξη που έδωσα ήταν με Λογισμό πολλών μεταβλητών.
Από C-S έχουμε:
Ξανά όμως από C-S
Αφού το δεξί μέλος είναι ίσο με 1 έχουμε το ζητούμενο.
Απλά και μόνο για το Χριστός Ανέστη και σίγουρα για λόγους πλουραλισμού για τους μικρούς σε ηλικία συναδέλφους, όπως ο Ορέστης, αλλά και γενικώτερα, ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί:ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 11:46 amΕστωΝα δειχθεί ότι
. Πότε ισχύει η ισότητα;
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης