Εξίσωση με πρώτο αριθμό

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 141
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Εξίσωση με πρώτο αριθμό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Πέμ Απρ 05, 2018 6:49 am

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι p για τους οποίους η εξίσωση x^{4}+4=py^{4} έχει λύση στους ακεραίους x,y.


'Ο Αϊνστάιν είπε πως ο θεός δεν παίζει ζάρια. Εγώ δεν πιστεύω μόνο ότι παίζει αλλά ότι δεν ξέρει και που τα ρίχνει'.
Στίβεν Χόκινγκ

Λέξεις Κλειδιά:
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Εξίσωση με πρώτο αριθμό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Απρ 21, 2018 12:44 am

Επαναφορά μιας και είναι πολύ ωραίο θεματάκι!!


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: Εξίσωση με πρώτο αριθμό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Δευ Μαρ 11, 2019 5:04 pm

Η εξίσωση γίνεται py^4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)

Παρατηρούμε ότι αφού p πρώτος, υποχρεωτικά πρέπει x,y περιττοί, ώστε να ισχύει η ισότητα.

Θέτοντας y=1 παίρνουμε ως λύσεις τα ζεύγη (p,y,x)=(5,1,1) (5,-1,-1)(5,-1,1)(5,1,-1)

Είναι εμφανές ότι δεν υπάρχουν λύσεις για p<5

Τώρα πρέπει να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν λύσεις για p>5

Έχουμε ότι gcd(x^2+2x+2,x^2-2x+2)=1 αφού στο άλλο μέλος ο p είναι πρώτος.

Θέτουμε x^2-2x+2=a^4 και x^2+2x+2=pb^4 όταν ab=y για σύνθετο ακέραιο y.

Συνεπώς (a^2-x+1)(a^2+x-1)=1 που μας δίνει a^2=x=1

Έπειτα με βάση την προηγούμενη σχέση λαμβάνουμε ότι pb^4=5, οπότε b=1

Άρα τα μόνα ζεύγη λύσεων είναι τα αρχικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης