Κλειστός Τύπος για Άθροισμα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

glinos
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 17, 2018 3:08 pm
Τοποθεσία: Περαία, Θεσσαλονίκη

Κλειστός Τύπος για Άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από glinos » Κυρ Μαρ 25, 2018 9:02 pm

Για κάθε n\in \mathbb{N}^{\ast} να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k^{3}+k^{2}+1}{k^{2}+k}= \dfrac{n\left ( n^{2}+2n+3 \right )}{2\left ( n+1 \right )}}


Γιαννάκης Άγγελος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3913
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Κλειστός Τύπος για Άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 25, 2018 9:14 pm

glinos έγραψε:
Κυρ Μαρ 25, 2018 9:02 pm
Για κάθε n\in \mathbb{N}^{\ast} να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k^{3}+k^{2}+1}{k^{2}+k}= \dfrac{n\left ( n^{2}+2n+3 \right )}{2\left ( n+1 \right )}}
Παρατηρούμε ότι:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{k=1}^{n} \frac{k^3+k^2+1}{k^2+k} &= \sum_{k=1}^{n} \left ( k + \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}  \right ) \\  
 &=\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n}{n+1} \\  
 &=\frac{n(n+1)^2}{2(n+1)} + \frac{n}{n+1} \\  
 &= \frac{n \left ( n^2+2n+3 \right )}{2(n+1)} 
\end{aligned}}
αφού ως γνωστόν είναι \sum \limits_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} και \sum \limits_{k=1}^{n} \left ( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right ) = 1 - \frac{1}{n+1} ως τηλεσκοπικό.


Γ Γυμνασίου; Μάλλον όχι ! Σε κάποιο άλλο φάκελο ναι!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8150
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κλειστός Τύπος για Άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μαρ 25, 2018 9:17 pm

Μετακινήθηκε στον κατάλληλο φάκελο. Παρακαλώ λίγη προσοχή που τοποθετούμε τα θέματα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης