Γειτονικοί ρητοί

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 655
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Γειτονικοί ρητοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Δεκ 28, 2017 1:09 am

Ως συνέχεια αυτής της ανάρτησης: viewtopic.php?f=173&t=58147

Γράφουμε σε αύξουσα σειρά, όλους τους θετικούς ρητούς (σε ανάγωγη μορφή) με παρονομαστή το πολύ 99. Ποιοι είναι οι δύο γειτονικοί ρητοί του \frac{5}{8};



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γειτονικοί ρητοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 25, 2019 7:16 pm

Επαναφορά.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 655
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γειτονικοί ρητοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιουν 04, 2019 1:02 pm

Έστω ότι τα ζητούμενα κλάσματα είναι τα \dfrac{a}{\beta },\dfrac{\gamma }{\delta },

με 0<a<\beta και 0<\gamma <\delta .

Τότε θα ισχύει \dfrac{a}{\beta }<\dfrac{5 }{8}<\dfrac{\gamma }{\delta }.

Υπολογίζουμε πρώτα τα a,\beta. Ισχύει ότι (ιδιότητα της ακολουθίας Farey) 5\beta-8a=1\Rightarrow a=\dfrac{5\beta-1}{8 }.

Επειδή \dfrac{5\beta-1}{8 }\in Z^+ έχουμε ότι \beta=8k+5,k=0,1,2,...,11 (επειδή \beta\leq 99)

και a=5k+3,k=0,1,2,...,11. Επομένως, \dfrac{a}{\beta }=\dfrac{5k+3 }{8k+5 } το οποίο εύκολα δείχνουμε

ότι μεγιστοποιείται για k=11. Άρα \dfrac{a}{\beta }=\dfrac{58 }{93 } και με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι

\dfrac{\gamma }{\delta }=\dfrac{62}{99 }.


minageus
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 25, 2019 7:28 pm

Re: Γειτονικοί ρητοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από minageus » Τρί Ιουν 04, 2019 7:34 pm

Αρχικά παρατηρώ ότι \frac{5}{8}= \frac{k}{99}\Leftrightarrow k=61,875\approx 62
Επειδή k=\left \lfloor \frac{99\cdot 5}{8} \right \rfloor+1=62, το \frac{62}{99} θα είναι το αμέσως μεγαλύτερο κλάσμα του \frac{5}{8}.
Θα βρω τον αμέσως μικρότερο.
Καταλαβαίνω ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 80. Αν πάρω τώρα l\in (80,99) και m τέτοιο ώστε \frac{5}{8}> \frac{m}{l} και (m,l)=1 και δοκιμάσω τις περιπτώσεις, θα λάβω m=58 και l=93.
Άρα,\frac{58}{93}< \frac{5}{8}< \frac{62}{99}
Σημείωση:
από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιουν 04, 2019 1:02 pm
...(ιδιότητα της ακολουθίας Farey)...
Κύριε Κατσάπα, θα ήμουν ευγνώμων αν δημοσιεύατε κάποιο υλικό για να καταλάβω περί τίνος πρόκειται η ακολουθία Farey.


Δημήτρης Μηνάγιας
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γειτονικοί ρητοί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιουν 04, 2019 11:33 pm

minageus έγραψε:
Τρί Ιουν 04, 2019 7:34 pm
Αρχικά παρατηρώ ότι \frac{5}{8}= \frac{k}{99}\Leftrightarrow k=61,875\approx 62
Επειδή k=\left \lfloor \frac{99\cdot 5}{8} \right \rfloor+1=62, το \frac{62}{99} θα είναι το αμέσως μεγαλύτερο κλάσμα του \frac{5}{8}.
Θα βρω τον αμέσως μικρότερο.
Καταλαβαίνω ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 80. Αν πάρω τώρα l\in (80,99) και m τέτοιο ώστε \frac{5}{8}> \frac{m}{l} και (m,l)=1 και δοκιμάσω τις περιπτώσεις, θα λάβω m=58 και l=93.
Άρα,\frac{58}{93}< \frac{5}{8}< \frac{62}{99}
Σημείωση:
από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιουν 04, 2019 1:02 pm
...(ιδιότητα της ακολουθίας Farey)...
Κύριε Κατσάπα, θα ήμουν ευγνώμων αν δημοσιεύατε κάποιο υλικό για να καταλάβω περί τίνος πρόκειται η ακολουθία Farey.
Μπορείς να δεις στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/fareyproject.pdf


minageus
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 25, 2019 7:28 pm

Re: Γειτονικοί ρητοί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από minageus » Τετ Ιουν 05, 2019 1:34 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 04, 2019 11:33 pm
minageus έγραψε:
Τρί Ιουν 04, 2019 7:34 pm
Αρχικά παρατηρώ ότι \frac{5}{8}= \frac{k}{99}\Leftrightarrow k=61,875\approx 62
Επειδή k=\left \lfloor \frac{99\cdot 5}{8} \right \rfloor+1=62, το \frac{62}{99} θα είναι το αμέσως μεγαλύτερο κλάσμα του \frac{5}{8}.
Θα βρω τον αμέσως μικρότερο.
Καταλαβαίνω ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 80. Αν πάρω τώρα l\in (80,99) και m τέτοιο ώστε \frac{5}{8}> \frac{m}{l} και (m,l)=1 και δοκιμάσω τις περιπτώσεις, θα λάβω m=58 και l=93.
Άρα,\frac{58}{93}< \frac{5}{8}< \frac{62}{99}
Σημείωση:
από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιουν 04, 2019 1:02 pm
...(ιδιότητα της ακολουθίας Farey)...
Κύριε Κατσάπα, θα ήμουν ευγνώμων αν δημοσιεύατε κάποιο υλικό για να καταλάβω περί τίνος πρόκειται η ακολουθία Farey.
Μπορείς να δεις στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/fareyproject.pdf
Σας ευχαριστώ πολύ! :D


Δημήτρης Μηνάγιας
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες