Βρείτε τον a

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 655
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Βρείτε τον a

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Δεκ 25, 2017 10:46 pm

Να βρεθεί ο ελάχιστος a για τον οποίο υπάρχουν θετικοί αριθμοί x και y τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι παρακάτω:

x+y\leq a

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\leq a

\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}} +\dfrac{1}{\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{a}}\leq a



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 655
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Βρείτε τον a

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Απρ 05, 2020 4:53 pm

Είναι από το περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ. Ουσιαστικά αντιγράφω τη λύση που βρίσκεται εκεί.

Όπως παρατηρώ τώρα μάλλον είναι κακή επιλογή να την βάλω σε φάκελο Γυμνασίου.

Σε φάκελο Λυκείου θα έπρεπε να μπει.

Από τις δύο πρώτες ανισότητες έχουμε:

0\leq x\leq a-y και a\geq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfrac{1}{a-y}+\dfrac{1}{y} ή

a\geq \dfrac{a}{y(a-y)}\Leftrightarrow y^2-ay+1\leq 0

με ρίζες y_{1,2}=\dfrac{a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}.

Λόγω συμμετρίας είναι επίσης x_{1,2}=\dfrac{a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}.

Άρα \dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\leq x\leq \dfrac{a+ \sqrt{a^2-4}}{2} και \dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\leq y \leq \dfrac{a+ \sqrt{a^2-4}}{2} (1)

Επειδή για τους αριθμούς \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{a} ισχύει

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{a}= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \leq a και

\left (\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}  \right )^{-1}+ \left (\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{a}  \right )^{-1} \leq a έχουμε (όπως δείξαμε την (1)):

\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\leq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}\leq \dfrac{a+ \sqrt{a^2-4}}{2} και \dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\leq \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{a} \leq \dfrac{a+ \sqrt{a^2-4}}{2} ή

\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}-\dfrac{1}{a}\leq \dfrac{1}{x}\leq \dfrac{a+ \sqrt{a^2-4}}{2}-\dfrac{1}{a} και \dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}+\dfrac{1}{a}\leq \dfrac{1}{y} \leq \dfrac{a+ \sqrt{a^2-4}}{2}+\dfrac{1}{a} (2)

ταυτόχρονα από τις σχέσεις (1) και την υπόθεση προκύπτει ότι:

\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\leq \dfrac{1}{x}\leq \dfrac{a+ \sqrt{a^2-4}}{2} και \dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\leq \dfrac{1}{y} \leq \dfrac{a+ \sqrt{a^2-4}}{2} (3)

Από (2),(3) έχουμε:

\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\leq\dfrac{a+ \sqrt{a^2-4}}{2}-\dfrac{1}{a} ή

\sqrt{a^2-4}\geq \dfrac{1}{a}\Rightarrow a\geq \sqrt{2+\sqrt{5}}.

Επομένως \min a = \sqrt{2+\sqrt{5}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης