Ακέραιος!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Ακέραιος!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Οκτ 08, 2017 8:56 pm

Να βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) ώστε \dfrac{a^3+1}{ab-1} \in \mathbb{Z}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ακέραιος!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Οκτ 09, 2017 4:54 pm

Θέλουμε ο \dfrac{a^3+1}{ab-1} να είναι ακέραιος, δηλαδή ο \dfrac{a^3+1}{ab-1}+1=\dfrac{a(a^2+b)}{ab-1} να είναι ακέραιος.
Όμως οι αριθμοί a και ab-1 είναι πρώτοι μεταξύ τους. Επομένως θέλουμε να βρούμε όλα τα (a, b), έτσι ώστε ο \dfrac{a^2+b}{ab-1} να είναι ακέραιος. Προφανώς θα είναι θετικός ακέραιος, καθώς και ο αριθμητής και ο παρανομαστής είναι θετικοί ακέραιοι.

Έστω \dfrac{a^2+b}{ab-1}=k, με k θετικός ακέραιος. Ελέγχουμε αρχικά την τετριμμένη περίπτωση k=1.

Τότε θα πρέπει a^2+b=ab-1\Leftrightarrow a^2+1=b(a-1)\Leftrightarrow a-1|a^2+1. Όμως ξέρουμε πως a-1|a^2-1, άρα (a^2+1, a^2-1)\geq a-1.

Όμως (a^2+1, a^2-1)\leq 2. Άρα a-1\leq 2\Leftrightarrow a\leq 3. Οι περιπτώσεις a=2, a=3 εγκρίνονται καθώς δίνουν τα (a, b)=(2, 5) και (a, b)=(3, 5).

Έστω τώρα πως k>1.

Ελέγχουμε τις περιπτώσεις b\leq 3.

Αν b=1, τότε θέλουμε ο \dfrac{a^2+1}{a-1} να είναι ακέραιος, που όπως αναλύσαμε πρέπει a=2 ή a=3. Έχουμε λοιπόν τα (a, b)=(2, 1) και (a, b)=(3, 1)

Αν b=2, τότε θέλουμε ο \dfrac{a^2+2}{2a-1} να είναι ακέραιος, δηλαδή ο \dfrac{a^2+2}{2a-1}+2 να είναι ακέραιος, δηλαδή ο \dfrac{a^2+4a}{2a-1} να είναι ακέραιος, αφού όμως (a, 2a-1)=1, πρέπει \dfrac{a+4}{2a-1} να είναι ακέραιος, δηλαδή ο \dfrac{a+4}{2a-1}+4 να είναι ακέραιος, δηλαδή ο \dfrac{9a}{2a-1} να είναι ακέραιος, δηλαδή ο \dfrac{9}{2a-1} να είναι ακέραιος, δηλαδή a=1 ή a=2 ή a=5. Άρα έχουμε τα (a, b)=(1, 2), (a, b)=(2, 2) και (a, b)=(5, 2).

Αν b=3, έχουμε πως πρέπει ο \dfrac{a^2+3}{3a-1} να είναι ακέραιος και με την ίδια διαδικασία προκύπτει το ισοδύναμο \dfrac{28}{3a-1} να είναι ακέραιος, άρα a=1 ή a=5. Άρα έχουμε τα (a, b)=(1, 3) και (a, b)=(5, 3).

Έστω τώρα b>3

Έχουμε ότι \dfrac{a^2+b}{ab-1}=k\Leftrightarrow a^2+kba+b+k=0. Λύνοντας ως προς a προκύπτει ότι η διακρίνουσα είναι ίση με b^2k^2-4(b+k).

Για να βγαίνει το a ακέραιο πρέπει b^2k^2-4(b+k)=m^2. Είναι προφανές πως b^2k^2>b^2k^2-4(b+k)

Θα αποδείξουμε (bk-2)^2<b^2k^2-4(b+k).

Πράγματι (bk-2)^2<b^2k^2-4(b+k)\Leftrightarrow b^2k^2+4-4bk<b^2k^2-4(b+k)\Leftrightarrow 1<bk-b-k\Leftrightarrow 2<(b-1)(k-1), που ισχύει καθώς b\geq 4 και k>1.

Έπεται λοιπόν πως b^2k^2-4(b+k)=(bk-1)^2\Leftrightarrow 4(b+k)+1=2bk, άτοπο.

Άρα μοναδικές λύσεις οι:

(a, b)=(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 2), (5, 3).


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ακέραιος!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Οκτ 09, 2017 7:17 pm

Πολύ ωραία Διονύση! :coolspeak:


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης