Σχεδόν όλες μιγαδικές

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Σχεδόν όλες μιγαδικές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Ιούλ 01, 2017 8:26 pm

Να δειχθεί ότι, για περιττό n, το πολυώνυμο (x-1)^n(x^n+1)+(x+1)^n δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των x=0 και x=-1.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Ιούλ 25, 2017 12:54 pm

gbaloglou έγραψε:Να δειχθεί ότι, για περιττό n, το πολυώνυμο (x-1)^n(x^n+1)+(x+1)^n δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των x=0 και x=-1.
Επαναφορά!


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 581
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Ιούλ 25, 2017 12:57 pm

Ουσιαστικά αρκεί \dfrac{P(x)}{x(x+1)}>0.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2789
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιούλ 25, 2017 10:03 pm

Πολύ ωραίο.
Αν το θέσουμε p(x)
Αρκεί να δείξουμε ότι
x\geq 1\Rightarrow p(x)> 0,0< x< 1\Rightarrow p(x)> 0,-1< x< 0\Rightarrow p(x)< 0
και
x<-1\Rightarrow p(x)> 0
Το πρώτο είναι προφανές.
Τα άλλα γίνονται με επαγωγή ως εξής.

Το δεύτερο γράφεται x^{n}+1< (\dfrac{x+1}{1-x})^{n}

και σε αυτήν την μορφή κάνουμε επαγωγή.
Στις άλλες μορφές φτιάχνουμε όμοιες ανισοτικές σχέσεις (η φορά τις ανισότητας αλλάζει)
και κάνουμε επαγωγή.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Ιούλ 26, 2017 1:58 pm

Σημαδιακό το ότι η λύση εμφανίζεται, έστω και σκιαγραφημένη, περίπου ("on or about") στα γενέθλια (facebook) του Σωτήρη Λουρίδα, που είναι και ο ουσιαστικός δημιουργός του προβλήματος! (Πως και γιατί θα αποκαλυφθεί αργότερα, δίνω τώρα την ευκαιρία και για άλλες λύσεις, μία από τις οποίες θα είναι δική μου, άνευ επαγωγής...)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2789
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 26, 2017 2:15 pm

gbaloglou έγραψε:Σημαδιακό το ότι η λύση εμφανίζεται, έστω και σκιαγραφημένη, περίπου ("on or about") στα γενέθλια (facebook) του Σωτήρη Λουρίδα, που είναι και ο ουσιαστικός δημιουργός του προβλήματος! (Πως και γιατί θα αποκαλυφθεί αργότερα, δίνω τώρα την ευκαιρία και για άλλες λύσεις, μία από τις οποίες θα είναι δική μου, άνευ επαγωγής...)
Γεια σου Γιώργο.
Δεν την έγραψα αναλυτικά γιατί είναι πολλές πράξεις.Και είναι πράξεις ρουτίνας.
Που στο χαρτί γίνονται σε πέντε λεπτά αλλά στο tex μπορεί να μου πάρει και ώρα.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Αύγ 06, 2017 8:06 pm

Η δική μου λύση:
Αρκεί να δειχθεί, όπως ήδη παρατηρήθηκε, ότι P(x)<0 αν και μόνον αν -1<x<0. Αυτό προκύπτει άμεσα από την ισότητα

P(x)=(x+1)[x(x-1)^{n+1}(x^{n-3}+...+x^2+1)+(x-1)^n+(x+1)^{n-1}]

και το γεγονός ότι το άθροισμα (x-1)^n+(x+1)^{n-1} είναι θετικό για x>0 και αρνητικό για x<0.
Ο παραπάνω ισχυρισμός προκύπτει από τις ανισότητες |x-1|<1 & |x+1|>1 για 0<x<1, |x-1|>1 & |x+1|<1 για -1<x<0, και

(x-1)^n+(x+1)^{n-1}<-2(x-1)^{n-1}+(x+1)^{n-1}<-2(x+1)^{n-1}+(x+1)^{n-1}

για x<-1.

[Το πρόβλημα αυτό είναι μετασχηματισμός του προβλήματος που έθεσε ο Σωτήρης Λουρίδας και έλυσε ο Διονύσης Αδαμόπουλος ... εδώ :) ]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης