Ανισότητα για JBMO!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Ανισότητα για JBMO!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 23, 2017 8:55 pm

Έστω a,b,c θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a+b+c=3.

Να δείξετε ότι \dfrac{1}{2+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2+c^2+a^2} \leqslant \dfrac{3}{4}.

Πότε ισχύει η ισότητα;


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1410
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ανισότητα για JBMO!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Απρ 24, 2017 12:17 am

Η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{2}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{2 + {a^2} + {b^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 3 - \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \ge \frac{3}{2}.}

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι:

\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  = \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \ge \dfrac{{{{\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{cyc} {\left( {2 + {a^2} + {b^2}} \right)} }} = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{b^2} + {c^2}} } } \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} +3 \right) }}.}

Αλλά, πάλι εφαρμόζοντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz, έχουμε ότι:

\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{b^2} + {c^2}} }  \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {{b^2} + ac} \right)}  = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right),}

οπότε

\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \ge \frac{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = }

\displaystyle{ = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = \frac{3}{2}}

και το ζητούμενο δείχθηκε.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ανισότητα για JBMO!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Απρ 24, 2017 12:23 am

emouroukos έγραψε:Η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{2}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{2 + {a^2} + {b^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 3 - \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow }

\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \ge \frac{3}{2}.}

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι:

\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  = \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \ge \dfrac{{{{\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{cyc} {\left( {2 + {a^2} + {b^2}} \right)} }} = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{b^2} + {c^2}} } } \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} +3 \right) }}.}

Αλλά, πάλι εφαρμόζοντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz, έχουμε ότι:

\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{b^2} + {c^2}} }  \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {{b^2} + ac} \right)}  = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right),}

οπότε

\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2 + {a^2} + {b^2}}}}  \ge \frac{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = }

\displaystyle{ = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} = \frac{3}{2}}

και το ζητούμενο δείχθηκε.
:clap2:


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης