Βρείτε τη μεγαλύτερη

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

vzf
Δημοσιεύσεις: 312
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 28, 2010 11:11 pm

Βρείτε τη μεγαλύτερη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vzf » Σάβ Μαρ 11, 2017 12:24 pm

Θεωρείστε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη ακεραίων (a,b) για τα οποία \displaystyle{1\leq a\leq b\leq100} και \displaystyle{\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}} είναι ακέραιος. Από αυτά τα ζευγάρια να βρεθεί αυτό με τη μεγαλύτερη τιμή του b.



Λέξεις Κλειδιά:
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Σάβ Απρ 22, 2017 6:55 pm

Λάθος λύση...
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Παρ Μάιος 19, 2017 4:00 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 23, 2017 1:44 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
vzf έγραψε:Θεωρείστε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη ακεραίων (a,b) για τα οποία \displaystyle{1\leq a\leq b\leq100} και \displaystyle{\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}} είναι ακέραιος. Από αυτά τα ζευγάρια να βρεθεί αυτό με τη μεγαλύτερη τιμή του b.
Καλησπέρα!

Είναι:

{\dfrac{(a+b)(a+b+1)}{ab} \Rightarrow \dfrac{2ab}{ab}+\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a^{2}}{ab}+\dfrac{b^{2}}{ab} \Rightarrow 2+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \in\mathbb{N}

\bullet Αν a=b, έχω δύο περιπτώσεις, τις: \boxed{(a,b)=(1,1),(2,2)}

\bullet Για a<b, θα πρέπει a,b να μην είναι πολλαπλάσια κανενός πρώτου (εκτός του 2), διότι στη διαίρεση, θα βγει άρρητο ή περιοδικό πηλίκο. Οι πιθανοί αριθμοί αυτοί είναι:

1,2,4,5,8,10,16,20,32,40,50,64,80

Παίρνω περιπτώσεις:

\bullet Αν b=80, θα πρέπει a=98,75 Άτοπο
\bullet Αν b=64, θα πρέπει a=98,4375 Άτοπο
\bullet Αν b=50, θα πρέπει a=98. Άτοπο γιατί a<b
\bullet Αν b=32, θα πρέπει a=96,875 Άτοπο
\bullet Αν b=20, θα πρέπει a=95. Άτοπο γιατί a<b
\bullet Αν b=16, θα πρέπει a=93,75 Άτοπο
\bullet Αν b=10, θα πρέπει a=90 Άτοπο
\bullet Αν b=8, θα πρέπει a=87,5 Άτοπο
\bullet Αν b=5, θα πρέπει a=80 Άτοπο γιατί a<b
\bullet Αν b=4, θα πρέπει a=75 Ομοίως, άτοπο
\bullet Αν b=2, θα πρέπει a=2 Ομοίως, άτοπο
\bullet Αν b=1, θα πρέπει a=1 Ομοίως, άτοπο

Άρα, το ζεύγος με την μεγαλύτερη τιμή του b είναι το \boxed{(a,b)=(2,2)}
Νικόλα, το ζεύγος a=3, \, b=6 δίνει \dfrac{(a+b)(a+b+1)}{ab} =5 \in \mathbb{Z}, και έχει μεγαλύτερο b από το δικό σου.

Άρα, η λύση σου κάπου έχει πρόβλημα ...


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 23, 2017 2:42 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Νικόλα, το ζεύγος a=3, \, b=6 δίνει \dfrac{(a+b)(a+b+1)}{ab} =5 \in \mathbb{Z}, και έχει μεγαλύτερο b από το δικό σου.

Άρα, η λύση σου κάπου έχει πρόβλημα ...
Γεια σου Ορέστη! Είδα ότι η λύση είναι λάθος. Σε ευχαριστώ!

Νικόλας


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6098
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μάιος 17, 2017 12:27 am

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
sotiriszogos
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Σεπ 21, 2016 1:35 pm

Re: Βρείτε τη μεγαλύτερη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sotiriszogos » Τρί Μάιος 23, 2017 2:26 am

Το πρόβλημα λύνεται με την μέθοδο άλματος Vieta.
Έστω \displaystyle n=\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}=2+\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}
Θέτω \displaystyle m=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}
Έστω \displaystyle (a,b) το ζευγάρι λύσης με a\geq b.
\displaystyle \frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}=2+m \Rightarrow (a+b)(a+b+1)=(2+m)ab \Rightarrow
\Rightarrow a^2-(mb-1)a+b^2+b=0
Και αντικαθιστώντας το a με x έχουμε :x^2-(mb-1)x+b^2+b=0.
Έστω η μια λύση x_1=a. Τότε από τους τύπους του αθροίσματος και του γινομένου του Vieta έχουμε :x_2=mb-1-a και \displaystyle x_2=\frac{b^2+b}{a}. Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι \displaystyle x_2=\frac{b^2+b}{a}\leq \frac{b(b+1)}{b+1}=b \Rightarrow x_2 \leq b.
Άρα άλλη μια λύση είναι η (b,x_2) δηλαδή η (b,mb-1-a).
Επαναλαμβάνοντας αυτήν την διαδικασία, φτάνουμε στην ελάχιστη λύση όπου a=b.
Για a=b έχουμε \displaystyle n=\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}=\frac{(2a)(2a+1)}{a^2}=\frac{4a^2+2a}{a^2}=4+\frac{2}{a} το οποίο είναι ακέραιος μόνο για a=1 ή a=2.
Για \displaystyle a=b=1 \Rightarrow n=\frac{2 \cdot 3}{1}=6 και μέσω του άλματος Vieta κρατώντας το n=6 σταθερό και έχοντας ως ελάχιστη λύση το (1,1) βρίσκουμε τις υπόλοιπες λύσεις οι οποίες είναι (1,1) \mapsto (1,2) \mapsto (2,6) \mapsto (6,21) \mapsto (21,77).
Για \displaystyle a=b=2 \Rightarrow n=\frac{4 \cdot 5}{4}=5 και μέσω του άλματος Vieta κρατώντας το n=5 σταθερό και έχοντας ως ελάχιστη λύση το (2,2) βρίσκουμε τις υπόλοιπες λύσεις οι οποίες είναι (2,2) \mapsto (2,3) \mapsto (3,6) \mapsto (6,14) \mapsto (14,35) \mapsto (35,90).
Οπότε, το ζευγάρι με το μεγαλύτερο b είναι το (35,90).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης