Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Δεκ 29, 2016 10:22 am

Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει (a+b^{2}+1)(b+c^{2}+1)(c+a^{2}+1)=27 Να βρείτε την μέγιστη τιμή της A=(a^2b^2+a^2b + ab^2+a^2+ab+b^2+a+b+1)(c^2+c+1).
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Παρ Δεκ 30, 2016 4:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Bye :')

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Δεκ 30, 2016 4:00 pm

Βάζω μια υπόδειξη στο hide:
Παραγοντοποίηση...


Bye :')
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Μαρ 29, 2020 7:36 pm

JimNt. έγραψε:
Πέμ Δεκ 29, 2016 10:22 am
Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει (a+b^{2}+1)(b+c^{2}+1)(c+a^{2}+1)=27 Να βρείτε την μέγιστη τιμή της A=(a^2b^2+a^2b + ab^2+a^2+ab+b^2+a+b+1)(c^2+c+1).
Είναι
\rm a^2b^2+a^2b + ab^2+a^2+ab+b^2+a+b+1=a^2(b^2+b+1)+a(b^2+b+1)+(b^2+b+1)=
\rm =(a^2+a+1)(b^2+b+1).
Άρα ζητούμε το μέγιστο της \rm (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1).
Οι τριάδες \rm (a^2,b^2,c^2),(a+1,b+1,c+1) έχουν ίδια διάταξη άρα αν θεωρήσουμε την \rm (c+1,a+1,b+1) έπεται πως \rm (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\leq (a^2+c+1)(b^2+a+1)(c^2+b+1)=27\Leftrightarrow A_{max}=27.
Η ισότητα για \rm a=b=c=1


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Μαρ 29, 2020 7:38 pm

:coolspeak: Καιρός ήταν :D


Bye :')
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες