Το κέντρο του κύκλου Euler επί της διχοτόμου
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Το κέντρο του κύκλου Euler επί της διχοτόμου
Έστω οι διχοτόμοι τριγώνου . Να δειχθεί ότι είναι συνευθειακά, με και το κέντρο του κύκλου Euler του τριγώνου
Στάθης
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Το κέντρο του κύκλου Euler επί της διχοτόμου
Έστω , το σημείο τομής των δια των σημείων καθέτων ευθειών, επί των αντιστοίχως και έχουμε ότι το σημείο ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Τα τρίγωνα έχουν κοινό Κύκλο Euler και επομένως, αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι η Ευθεία Euler του τριγώνου , περνάει από την κορυφή του δοσμένου τριγώνου . Έστω , το σημείο τομής της ευθείας της διχοτόμου από την μεσοκάθετη ευθεία του και ας είναι , οι προβολές του επί των , αντιστοίχως.
Από και , προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα και άρα, έχουμε
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως, ισχύει
Από και έχουμε
Από και προκύπτει
Από συμπεραίνεται ότι το σημείο ταυτίζεται με το περίκεντρο του τριγώνου και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Τα τρίγωνα έχουν κοινό Κύκλο Euler και επομένως, αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο, να αποδειχθεί ότι η Ευθεία Euler του τριγώνου , περνάει από την κορυφή του δοσμένου τριγώνου . Έστω , το σημείο τομής της ευθείας της διχοτόμου από την μεσοκάθετη ευθεία του και ας είναι , οι προβολές του επί των , αντιστοίχως.
Από και , προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα και άρα, έχουμε
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως, ισχύει
Από και έχουμε
Από και προκύπτει
Από συμπεραίνεται ότι το σημείο ταυτίζεται με το περίκεντρο του τριγώνου και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες