Ανισότητα με ακεραίους

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1490
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ανισότητα με ακεραίους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Απρ 16, 2013 12:56 am

Αν a,b είναι θετικοί ακέραιοι να αποδείξετε ότι \sqrt[a+b]{a^{2a}b^{2b}}\leq a^2-ab+b^2.

(Από το πρώτο τεύχος του περιοδικού Θεαίτητος, του Μανόλη Μαραγκάκη)


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με ακεραίους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Τρί Απρ 16, 2013 1:19 am

Από την ανισότητα AM-GM έχουμε:

\displaystyle \sqrt[a+b]{\left(a^2 \right)^a\left(b^2 \right)^b}=\sqrt[a+b]{\underbrace{\left(a^2\cdot a^2\cdot ...\cdot a^2 \right)}_{a}\underbrace{\left(b^2\cdot b^2\cdot ...\cdot b^2 \right)}_{b}}\leq

\displaystyle\frac{\big(\overbrace{a^2+a^2+...+a^2}^{a} \big)+\big(\overbrace{b^2+b^2+...+b^2}^{b} \big)}{a+b}=\frac{a^3+b^3}{a+b}=a^2-ab+b^2


Στραγάλης Χρήστος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με ακεραίους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Μαρ 20, 2020 6:53 pm

Η ανισότητα ισχύει και αν a,b θετικοί πραγματικοί, από την ανισότητα weighted AM-GM (ή weighted Jensen) με βάρη
\displaystyle{w_1=\frac{a}{a+b}} και \displaystyle{w_2=\frac{b}{a+b}} στους a^2 και b^2 αντίστοιχα...


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης