Σίγουρα ακέραιοι
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 92
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Σίγουρα ακέραιοι
Μια δική μου κατασκευή:
Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακεραίους () τουλάχιστον από τα κλάσματα
είναι ακέραιοι, όπου με συμβολίζουμε τον μικρότερο ακέραιο μεγαλύτερο ή ίσο του .
Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακεραίους () τουλάχιστον από τα κλάσματα
είναι ακέραιοι, όπου με συμβολίζουμε τον μικρότερο ακέραιο μεγαλύτερο ή ίσο του .
Γιώργος Κοτσάλης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σίγουρα ακέραιοι
Τα κλάσματα είναι ακέραιοι όταν και οι δύο προσθετέοι είναι άρτιοι ή και οι δύο περιττοί.thepigod762 έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 22, 2022 3:45 pmΜια δική μου κατασκευή:
Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακεραίους () τουλάχιστον από τα κλάσματα
είναι ακέραιοι, όπου με συμβολίζουμε τον μικρότερο ακέραιο μεγαλύτερο ή ίσο του .
Χωρίζουμε τους δοθέντες αριθμούς σε άρτιους και περιττούς. Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν άρτιοι και περιττοί, όπου . Τα επιτρεπτά ζεύγη άρτιων είναι και περιττών . Παρατηρούμε τώρα ότι ισχύει η ανισότητα (ισοδυναμεί με την ) και μάλιστα είναι γνήσια αν .
Δηλαδή τα ως άνω ζεύγη είναι . Αν τώρα η ανισότητα είναι γνήσια (περίπτωση ) και επειδή το αριστερό μέλος είναι φυσικός, έπεται το ζητούμενο. Αν πάλι τότε το είναι άρτιος, , και σε αυτή την περίπτωση ο είναι φυσικός, οπότε ίσος με το , οπότε πάλι τελειώσαμε.
Edit: Αντικατέστησα την αρχική μου απόδειξη με την παραπάνω. Η αρχική ήταν εσφαλμένη γιατί μετρούσα δύο φορές κάποιους όρους ενώ δεν μετρούσα κάποιους άλλους.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σίγουρα ακέραιοι
Διόρθωσα την παραπάνω αρχική μου λύση γιατί ήταν εσφαλμένη. Ευχαριστώ τον Δημήτρη Χριστοφίδη (Demetres) που μου έστειλε διακριτικό μήνυμα επισημαίνοντας ότι η λύση μου ήταν εσφαλμένη. Ευτυχώς μπόρεσα να την φτιάξω κρατώντας την ίδια κεντρική ιδέα, αλλά με πιο προσεκτικό μέτρημα.
-
- Δημοσιεύσεις: 92
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Re: Σίγουρα ακέραιοι
Έτσι ακριβώς το σκέφτηκα, μόνο που έχω την εντύπωση ότι χρησιμοποιείται ηMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 22, 2022 4:24 pmΤα κλάσματα είναι ακέραιοι όταν και οι δύο προσθετέοι είναι άρτιοι ή και οι δύο περιττοί.thepigod762 έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 22, 2022 3:45 pmΜια δική μου κατασκευή:
Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακεραίους () τουλάχιστον από τα κλάσματα
είναι ακέραιοι, όπου με συμβολίζουμε τον μικρότερο ακέραιο μεγαλύτερο ή ίσο του .
Χωρίζουμε τους δοθέντες αριθμούς σε άρτιους και περιττούς. Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν άρτιοι και περιττοί, όπου . Τα επιτρεπτά ζεύγη άρτιων είναι και περιττών . Παρατηρούμε τώρα ότι ισχύει η ανισότητα (ισοδυναμεί με την ) και μάλιστα είναι γνήσια αν .
Δηλαδή τα ως άνω ζεύγη είναι . Αν τώρα η ανισότητα είναι γνήσια (περίπτωση ) και επειδή το αριστερό μέλος είναι φυσικός, έπεται το ζητούμενο. Αν πάλι τότε το είναι άρτιος, , και σε αυτή την περίπτωση ο είναι φυσικός, οπότε ίσος με το , οπότε πάλι τελειώσαμε.
Edit: Αντικατέστησα την αρχική μου απόδειξη με την παραπάνω. Η αρχική ήταν εσφαλμένη γιατί μετρούσα δύο φορές κάποιους όρους ενώ δεν μετρούσα κάποιους άλλους.
Διορθώστε με αν κάνω λάθος.
Η ισότητα επιτυγχάνεται στην περίπτωση ανν
Για είναι
Παρατηρούμε ότι τότε η ισότητα πιάνεται επίσης για
Γιώργος Κοτσάλης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σίγουρα ακέραιοι
Δεν κάνεις λάθος αλλά παρατήρησε ότι αυτή που γράφεις και αυτή που χρησιμοποίησα είναι ισοδύναμες. Μάλιστα, ανάγονται και οι δύο ως ισοδύναμες της .thepigod762 έγραψε: ↑Τετ Ιαν 26, 2022 3:45 pmΈτσι ακριβώς το σκέφτηκα, μόνο που έχω την εντύπωση ότι χρησιμοποιείται η
Διορθώστε με αν κάνω λάθος.
-
- Δημοσιεύσεις: 92
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Re: Σίγουρα ακέραιοι
Μα φυσικάMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Ιαν 26, 2022 6:23 pmΔεν κάνεις λάθος αλλά παρατήρησε ότι αυτή που γράφεις και αυτή που χρησιμοποίησα είναι ισοδύναμες. Μάλιστα, ανάγονται και οι δύο ως ισοδύναμες της .thepigod762 έγραψε: ↑Τετ Ιαν 26, 2022 3:45 pmΈτσι ακριβώς το σκέφτηκα, μόνο που έχω την εντύπωση ότι χρησιμοποιείται η
Διορθώστε με αν κάνω λάθος.
Γιώργος Κοτσάλης
Re: Σίγουρα ακέραιοι
Για να δούμε μία γενική αντιμετώπιση του προβλήματος πρέπει να σκεφτούμε ότι έχουμε να ελαχιστοποιήσουμε την
όταν είναι σταθερό, δηλαδή όταν . Αυτό μπορούμε να το κάνουμε και αν είχαμε περισσότερους όρους λόγω της κυρτότητας της
.
όταν είναι σταθερό, δηλαδή όταν . Αυτό μπορούμε να το κάνουμε και αν είχαμε περισσότερους όρους λόγω της κυρτότητας της
.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 92
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Re: Σίγουρα ακέραιοι
Ας επεκταθώ σε αυτό:
Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την
Στο τέλος χρησιμοποιήσαμε την
Η ισότητα επιτυγχάνεται για
Βέβαια η γενίκευση αυτή δεν επεκτύνεται στην άσκηση των κλασμάτων και έχω περιέργεια για μια τέτοια...
Στην πρώτη άσκηση δουλεύουμε με συνδιασμούς ανα δύο διότι δύο είναι και οι τρόποι να πάρουμε :
και έχουμε συνδιασμούς διότι
Αν οι παρνονομαστές παρέμεναν μα στα αθροίσματα είχαμε συνδιασμούς των ακεραίων ανά 4 οι τρόποι είναι 3 (χωρίς σειρά):
Μα στην περίπτωση αυτή το σύνολο των τρόπων δεν υπολογίζεται πάντα με συνδιασμούς. Στην δεύτερη περίπτωση δηλαδή οι τρόποι είναι:
, όπου το πλήθος των αριθμών αντίστοιχα.
Ενδεχομένως να είναι εφικτό να γενικεύσουμε και στα αθροίσματα των ακεραίων στους αριθμητές αλλά και στον παρονομαστή, δουλεύοντας όχι μόνο
Γιώργος Κοτσάλης
Re: Σίγουρα ακέραιοι
Επεκτείνεται, απλά δεν πρέπει να χρησιμοποιήσεις την Cauchy-Schwarz. Θέλεις μία πιο προχωρημένη ανισότητα.thepigod762 έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 27, 2022 8:37 pmΒέβαια η γενίκευση αυτή δεν επεκτύνεται στην άσκηση των κλασμάτων και έχω περιέργεια για μια τέτοια...
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 92
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Re: Σίγουρα ακέραιοι
Κατάλαβα. Ευχαριστώ.silouan έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 27, 2022 9:00 pmΕπεκτείνεται, απλά δεν πρέπει να χρησιμοποιήσεις την Cauchy-Schwarz. Θέλεις μία πιο προχωρημένη ανισότητα.thepigod762 έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 27, 2022 8:37 pmΒέβαια η γενίκευση αυτή δεν επεκτύνεται στην άσκηση των κλασμάτων και έχω περιέργεια για μια τέτοια...
Γιώργος Κοτσάλης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης