Αριθμοί με τρεις διαιρέτες

[Mihalis_Lambrou]

Ένας φυσικός αριθμός έχει την ιδιότητα να έχει (ακριβώς) τρεις διαρέτες και, επίσης, ο έχει (ακριβώς) τρεις διαιρέτες. Ποιος είναι ο ;

Édit. Έκανα τυπογραφική διόρθωση. Αντί , το σωστό είναι . Συγγνώμη για την ταλαιπωρία.

[Nikitas K.]

Έστω

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έστω
Αν τότε ο αριθμός έχει άπειρους διαιρέτες, άτοπο
Αν τότε ο αριθμός έχει μόνο διαιρέτη, άτοπο.
Αν είναι πρώτος, τότε ο αριθμός έχει μόνο διαιρέτες, άτοπο.
Άρα ο αριθμός είναι σύνθετος.

Αν ο αριθμός είναι σύνθετος τότε ο αριθμός έχει τουλάχιστον διαιρέτες, άτοπο.
Άρα ο αριθμός είναι πρώτος.

Ισχύει
Αν τότε ο αριθμός έχει τουλάχιστον διαιρέτες, διότι άτοπο.
Αν τότε ο αριθμός είναι πρώτος, άτοπο.
Αν τότε ο αριθμός δεν είναι πρώτος, άτοπο.
Αν τότε ο αριθμός έχει ακριβώς διαιρέτες, που ισχύει.


Έστω ο αριθμός να είναι σύνθετος με την τετραγωνική ρίζα του να είναι πρώτος αριθμός, τότε
αν τότε άτοπο.
Άρα

Επομένως

Αν τότε

• Αν απορρίπτεται.

• Αν απορρίπτεται.

Συνεπώς δεν υπάρχει τέτοιο

[Mihalis_Lambrou]

Έκανα τυπογραφική διόρθωση στην εκφώνηση. Αντί N+2, το σωστό είναι N+72. Συγγνώμη για την ταλαιπωρία.

[KARKAR]

Αν είναι δεδομένο ότι ο αριθμός είναι μοναδικός , τότε είναι ο .

( Τετράγωνα πρώτων και ο και ο ) .

[Mihalis_Lambrou]

Αν είναι δεδομένο ότι ο αριθμός είναι μοναδικός , τότε είναι ο .

( Τετράγωνα πρώτων και ο και ο ) .

Θανάση, δεν είναι μοναδικός ο αριθμός. Αλλά έτσι και αλλιώς θέλουμε τον συλλογισμό για εύρεση του αριθμού. Στην πραγματικότητα πρέπει να αιτιολογηθεί και η αιτία που ψάχνουμε τετράγωνα πρώτων. Είναι ουσιαστικό μέρος της άσκησης.

[Nikitas K.]

Έκανα τυπογραφική διόρθωση στην εκφώνηση. Αντί N+2, το σωστό είναι N+72. Συγγνώμη για την ταλαιπωρία.

Προσωπικά καμία ταλαιπωρία, μου δώθηκε η ευκαρία να ξαναγράψω πιο ανθρωπινά (ελπίζω) την απόδειξη στο hide...

Όπως παραπάνω με την ίδια λογική έχουμε
διότι αυτοί είναι όλοι οι διαιρέτες του
Απευθείας προκύπτει ότι τα άλλα απορρίπτονται λόγω ότι στην πρόσθεση κατά μέλη το πρώτο μέλος είναι άρτιος ενώ το δεύτερο περιττός.
Το απορρίπτεται επειδή δεν είναι πρώτος.
Οπότε τα οποία τα δεχόμαστε αφού το είναι πρώτος σε κάθε περίπτωση.
Άρα έχουμε ότι

[Mihalis_Lambrou]

Στην πραγματικότητα πρέπει να αιτιολογηθεί και η αιτία που ψάχνουμε τετράγωνα πρώτων. Είναι ουσιαστικό μέρος της άσκησης.

Επειδή οι μαθητές Γυμνασίου μπορεί να μην ξέρουν γιατί οι αριθμοί με ακριβώς τρεις διαιρέτες είναι της μορφής με πρώτο, και αντίστροφα, ας το καταγράψω εδώ.

Αν η ανάλυση ενός αριθμού είχε δύο ή περισσότερους διαφορετικούς πρώτους, ας πούμε τους , τότε θα είχε διαιρέτες τουλάχιστον τους, , δηλαδή τέσσερις και πάνω. Άρα αυτοί οι αριθμοί δεν μας ενδιαφέρουν, και μένουμε στους αριθμούς με μόνο έναν πρώτο στην ανάλυσή τους, δηλαδή σε αριθμούς της μορφής . Αν , τότε ο αριθμός θα είχε διαιρέτες τουλάχιστον τους , οπότε πάλι περισσότερους από . Έτσι μένουν οι και . Το πρώτο εύκολα απορρίπτεται, οπότε μένει το δεύτερο. Συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός θα είναι της μορφής , που εύκολα διαπιστώνουμε ότι έχει ακριβώς τρεις διαιρέτες.

[rek2]

Ίσως είναι κατάλληλη στιγμή να δώσουμε έναν τύπο για το πλήθος των διαιρετών του που η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι



Εφαρμογή για το

[Nikitas K.]

Ίσως είναι κατάλληλη στιγμή να δώσουμε έναν τύπο για το πλήθος των διαιρετών του που η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι



Εφαρμογή για το

Άρα το πλήθος των διαιρετών του είναι το γινόμενο των πληθικών αριθμών των παραπάνω συνόλων, δηλαδή
Βέβαια χρησιμοποίησα καταχρηστικά τα αποσιωπητικά, καθώς απευθυνόμαστε σε πεπερασμένο αριθμό.

Αν χρειαστεί εύκολα κάνουμε «τέλειες» επαγωγές στο πλήθος των πρώτων παρογόντων, αλλά και επάνω στον τύπο (για ασφάλεια) ή αξιοποιούμε αυτήν την παραπομπή «ΠΛΗΘΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
»

[Mihalis_Lambrou]

Ίσως είναι κατάλληλη στιγμή να δώσουμε έναν τύπο για το πλήθος των διαιρετών του που η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι

Με την ευκαιρία, ας δούμε μία άσκηση κατάλληλη για Γυμνάσιο που αξιοποιεί το παραπάνω:

Ποιος αριθμός
- έχει διαιρέτες,
- είναι πολλαπλάσιο του και
- είναι ο μικρότερος δυνατός φυσικός αριθμός με τις δύο προηγούμενες ιδιότητες.

[Nikitas K.]

Ποιος αριθμός
- έχει διαιρέτες,
- είναι πολλαπλάσιο του και
- είναι ο μικρότερος δυνατός φυσικός αριθμός με τις δύο προηγούμενες ιδιότητες.

Ο ζητούμενος αριθμός είναι το

Ο αριθμός που ψάχνουμε είναι σύνθετος αφού έχει διαιρέτες άρα γράφεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Άρα το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να χρησιμοποιήσουμε μόνο δύο πρώτους το επειδή είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός και το λόγω ότι πρέπει να διαιρείται με το και επειδή τυγχάνει να μην μπορεί να αναλυθεί περαιτέρω σε γινόμενο πρώτων παραγόντων καθώς είναι πρώτος.
Θα χρησιμοποιήσουμε μόνο μια το και φορές το επομένως

[Mihalis_Lambrou]

Άρα το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να χρησιμοποιήσουμε μόνο δύο πρώτους

Για ξαναδές την λύση σου γιατί η απάντηση είναι λάθος. Για να σε διευκολύνω, σημειώνω το σημείο που είναι εσφαλμένος ο συλλογισμός σου. Προσπάθησε να καταλάβεις γιατί είναι εσφαλμένος.

[Nikitas K.]

Για ξαναδές την λύση σου γιατί η απάντηση είναι λάθος. Για να σε διευκολύνω, σημειώνω το σημείο που είναι εσφαλμένος ο συλλογισμός σου. Προσπάθησε να καταλάβεις γιατί είναι εσφαλμένος.

Είναι εσφαλμένος διότι ένας σύνθετος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη ενός πρώτου αριθμού.
Π.χ.

Στην προκειμένη αν χρησιμοποιήσω μόνο έναν πρώτο αριθμό τότε θα πάρω που είναι μεγαλύτερος από τον που βρέθηκε.

[stranger]

Ποιος αριθμός
- έχει διαιρέτες,
- είναι πολλαπλάσιο του και
- είναι ο μικρότερος δυνατός φυσικός αριθμός με τις δύο προηγούμενες ιδιότητες.

Ο ζητούμενος αριθμός είναι το

Ο αριθμός που ψάχνουμε είναι σύνθετος αφού έχει διαιρέτες άρα γράφεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Άρα το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να χρησιμοποιήσουμε μόνο δύο πρώτους το επειδή είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός και το λόγω ότι πρέπει να διαιρείται με το και επειδή τυγχάνει να μην μπορεί να αναλυθεί περαιτέρω σε γινόμενο πρώτων παραγόντων καθώς είναι πρώτος.
Θα χρησιμοποιήσουμε μόνο μια το και φορές το επομένως

Εμένα μου φαίνεται σωστό.

[Nikitas K.]

Για ξαναδές την λύση σου γιατί η απάντηση είναι λάθος. Για να σε διευκολύνω, σημειώνω το σημείο που είναι εσφαλμένος ο συλλογισμός σου. Προσπάθησε να καταλάβεις γιατί είναι εσφαλμένος.

Είναι εσφαλμένος διότι ένας σύνθετος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη ενός πρώτου αριθμού.
Π.χ.

Στην προκειμένη αν χρησιμοποιήσω μόνο έναν πρώτο αριθμό τότε θα πάρω που είναι μεγαλύτερος από τον που βρέθηκε.

Επιπλέον με τον αριθμό που βρήκα ίσως πρέπει να απορρίψω και που εν τέλει απορρίπτονται γιατί είναι μεγαλύτεροι του ή επειδή δεν διαιρούνται με το

[Mihalis_Lambrou]

Επιπλέον με τον αριθμό που βρήκα ίσως πρέπει να απορρίψω και που εν τέλει απορρίπτονται γιατί είναι μεγαλύτεροι του ή επειδή δεν διαιρούνται με το

Ακόμα δεν έχεις αντιληφθεί που είναι το σφάλμα στον συλλογισμό. Για ξαναδές το νηφάλια.

Επίσης, Κωνσταντίνε (stranger) σου έστειλα ένα Π.Μ. με την σωστή απάντηση.

Θεωρώ την άσκηση ανοικτή σε όλους.

[stranger]

Επιπλέον με τον αριθμό που βρήκα ίσως πρέπει να απορρίψω και που εν τέλει απορρίπτονται γιατί είναι μεγαλύτεροι του ή επειδή δεν διαιρούνται με το

Ακόμα δεν έχεις αντιληφθεί που είναι το σφάλμα στον συλλογισμό. Για ξαναδές το νηφάλια.

Επίσης, Κωνσταντίνε (stranger) σου έστειλα ένα Π.Μ. με την σωστή απάντηση.

Θεωρώ την άσκηση ανοικτή σε όλους.

Ναι το είδα. Έχεις απόλυτο δίκιο. Ήταν λίγο tricky που λέμε.

[Nikitas K.]

Έστω οι θετικές δυνάμεις των πρώτων της ανάλυσης του ζητούμενου αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Το άρα

λόγω ότι είναι θετικές.

Αν άτοπο.

Άρα
Αν απορρίπτονται.
Αν απορρίπτονται.
Αν έχουμε



Έστω πρώτοι αριθμοί και ακέραιος τέτοιοι ώστε που είναι ο αριθμός που ψάχνουμε.
Διαλέγω το και έχουμε τον αριθμό

[Mihalis_Lambrou]

Διαλέγω το και έχουμε τον αριθμό

Τώρα βρήκες την σωστή απάντηση αλλά α) γράφεις πολλά περιττά στοιχεία και β) παραλλείπεις ουσιαστικά στοιχεία. Αν αυτή ήταν άσκηση σε διαγώνισμα Θεωρίας Αριθμών στο Πανεπιστήμιο, θα δυσκολευόμουνα να την βαθμολογίσω με πάνω από τις μισές μονάδες της. Κυρίως γιατί η άσκηση είναι πολύ απλή, οπότε πρέπει να φανούν καθαρά οι ιδέες της.

Λύση: Αφού , οι υποψήφιοι αριθμοί είναι, αντίστοιχα, της μορφής ή ή , όπου ο ένας από τους πρώτους είναι ο .

Αφού θέλουμε τον μικρότερο αριθμό με τις εν λόγω ιδιότητες, πρέπει να επιλέξουμε τους πρώτους να είναι τόσο πιο μικροί όσο πιο μεγάλος είναι ο εκθέτης τους. Εδώ οι παραπάνω γίνονται

ή ή . Άρα ο ζητούμενος είναι ο τελευταίος.

[Mihalis_Lambrou]

Ίσως είναι κατάλληλη στιγμή να δώσουμε έναν τύπο για το πλήθος των διαιρετών του που η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι



Εφαρμογή για το

Ας δούμε άλλη μία άσκηση κατάλληλη για Γυμνάσιο, πέρα από αυτήν στο ποστ #, που αξιοποιεί το παραπάνω.

Για έναν φυσικό αριθμό είναι γνωστό ότι ο έχει διαιρέτες. Πόσους διαιρέτες μπορεί να έχει ο ;